8.1: Millones, Mil Millones, Trillones- Grandes Números y Dinero

Si enseñas en el aula K-8, es posible que sepas que la mayoría de tus alumnos no se convertirán en científicos. ¿Por qué entonces es importante entender los números grandes? Aunque la mayoría de nosotros no somos científicos profesionales, números muy grandes tocan nuestra vida diaria de muchas maneras — el dinero es el más común.

Cuando escuchamos a legisladores discutir presupuestos estatales o nacionales en las noticias, o cuando vemos una medida de bonos locales para destinar millones —incluso miles de millones de dólares a un proyecto como un puente, una carretera o una línea de ferrocarril, la mayoría de la gente no entiende de cuánto dinero estamos hablando. Peor aún, no tienen una comprensión fundamental de grandes números que les ayuden a comprender las ideas que se están debatiendo en su nombre.

Esta actividad busca corregir ese déficit dando a los estudiantes un modelo físico para los conceptos de mil, millones, mil millones y billones — ¡sin contar demasiado tedioso!

Estándares Académicos

Prácticas de Ciencia e Ingeniería

• Hacer preguntas y definir problemas.
• Desarrollo y uso de modelos.
• El uso de las matemáticas.
• Obtener, evaluar y comunicar información.

Conceptos transversales

• Escala, proporción y cantidad.

Estándares científicos de próxima generación

• Sistemas espaciales (K-5, 6-8, 9-12).
• Estructura y función (K-5, 6-8, 9-12).

Para el Educador

Datos que necesitas saber

1. Normalmente pensamos en contar, multiplicar en poderes de 10 — El lugar de uno, el lugar de Diez, el lugar de los Cien, etc.
2. Números grandes: Mil, Millones, Mil Millones, Trillones, son potencias de 1000 —cada uno de estos números es mil veces mayor que su predecesor.
3. Es este cambio, de potencias de 10 para números cotidianos a potencias de 1000 para números grandes lo que confunde a la gente.

Docencia y Pedagogía

Los conceptos erróneos sobre números grandes son algunos de los bits de desinformación más persistentes y problemáticos. No solo los niños, sino una gran fracción de adultos en nuestra sociedad carecen de una buena comprensión de lo que son los grandes números, cuánto más grandes son mil millones que un millón, y mucho más. Casi nadie tiene un buen concepto visual de cómo se ve un millón de nada. Te imaginas que parece una docena de donas y qué tan grande es una caja que necesitas para ponerlas, pero ¿cómo se ve un millón de donas?

Cuando alcanzamos el dominio de millones, miles de millones, billones y más allá, los nombres de nuestros números ahora reflejan poderes de 1000. Psicólogos y antropólogos nos dicen que los humanos tienen la capacidad de conceptualizar fácilmente mentalmente grupos de hasta cinco o menos, y con un poco de práctica (¡y la ayuda de nuestros dedos!) podemos llegar a ser bastante buenos conceptualizando grupos de diez. De esta manera, visualizar 100 como diez grupos de diez está bien al alcance de casi cualquier persona. En comparación con esto, los grupos de 1000 están más allá del alcance cognitivo de cualquiera. Sí, manejamos números como estos matemática y numéricamente; pero conceptualmente, nos perdemos bastante rápido.

¿Quieres pruebas? Prueba este experimento mental: Piensa en diez canicas. ¿Tienes la foto mentalmente? ¡Bien! Ahora piensa en mil canicas. ¿Qué tan grande es? ¿Cuánto pesa? ¿Qué tan grande necesitará un contenedor para sostenerlos todos? Si necesitabas 1000 canicas y viste un grupo de 750 canicas, ¿podrías decir de vista que no tienes suficiente? Supongo que si tuvieras un trabajo trabajando con cajas de 1000 canicas todo el día podrías saberlo, pero generalmente, la respuesta a todas estas preguntas está cognitivamente fuera de nuestro alcance. Como seres humanos, simplemente no imaginamos mentalmente ni manejamos muy bien a grandes números sin mucha práctica.

Las computadoras se suman a la confusión para la mayoría de los estudiantes (¡y adultos!) Una computadora con 200 megabytes de memoria (200 millones de bytes) se parece al modelo con 3 gigabytes de memoria (3 mil millones de bytes). Una memoria USB con 32 megabytes se parece a una memoria USB con 32 gigabytes a pesar de que la capacidad es mil veces mayor! Los periódicos y las emisoras que leen las noticias en televisión no son mejores; los locutores saltarán de una historia sobre un incendio que causó daños por tres millones de dólares a una historia sobre un proyecto de ley de gasto de dos billones de dólares en el Congreso sin ningún intento de explicar la diferencia entre ellos. Actividades como esta, y una discusión a través de las ideas que contienen, son esenciales para tus alumnos.

Como adultos, se espera que trabajemos con computadoras que habitualmente usan términos como mega (millones), giga (mil millones) y terra (billones). Como votantes, se espera que seleccionemos candidatos para cargos escuchando sus planes económicos y fiscales que involucran millones, miles de millones y sí, billones de dólares. ¿Cómo podemos preparar a los niños de hoy para que hagan alguna de estas cosas con éxito si no tienen una comprensión fundamental de estos conceptos? Esta actividad finalmente pondrá las ideas de millones, mil millones y billones sobre una sólida base física y visual.

Resultados de los estudiantes

¿Qué descubrirá el alumno?

1. El hecho de que grandes números aumenten en potencias de 1000 en lugar de la potencia habitual de 10 hace que sean más difíciles de visualizar fácilmente.
2. Aprender a visualizar y comprender los poderes de 1000 en mil, millones, mil millones, billones requiere práctica! Tenemos que intentar imaginar un gran número de cosas diversas para familiarizarnos con estas escalas.

¿Qué aprenderán tus alumnos sobre la ciencia?

1. Estos grandes números son de particular interés en la astronomía, donde las distancias y tamaños varían mucho. Nuestro uso de potencias de 1000 facilita la discusión y comprensión de grandes tamaños y distancias.
2. Las clases más avanzadas de ciencias y matemáticas (preparatoria y universidad) utilizan algo llamado notación científica para ayudar a manejar estos números muy grandes y muy pequeños. La notación científica está más allá del alcance de este libro, pero estos métodos de escribir y calcular con números muy grandes y pequeños nos ayudan a manejar todo, desde la distancia entre las estrellas hasta el tremendamente pequeño tamaño del átomo.

Realización de la Actividad

Materiales

1. Un billón de dólares. ¿No? Bien, ¿qué tal un paquete de fichas o varias carpetas de archivos manila que podemos cortar y colorear para representar el dinero?
2. Un par de figuras LEGO ^® o una figura de acción similar de juguete de 2 pulgadas.
3. Dos piezas cuadradas de cartón de 3 pies.
4. Pinturas y rotuladores (¡verde, claro!) , los resaltadores funcionan bien para esto.
5. Barras de pegamento y pegamento caliente.

Construyendo el modelo de números grandes

1. Corta las tarjetas de índice en tiras de ¼ de pulgada de ancho. Corta cada tira en trozos de ½ pulgada. Vas a necesitar muchos de estos, así que si cada alumno hace una tarjeta, deberías tener suficiente.
2. Etiqueta cinco piezas con “$100” y pegarlas juntas para que se desplieguen como una mano de cartas. Cuando esté seco, colorea esta pila con un resaltador verde. Pega esta pila de dinero en abanico en la mano de una de tus pequeñas figuras de acción para representar $10,000 — ¡asegúrate de pintar una sonrisa en la cara del pequeño compañero! Recuérdele a sus alumnos que se necesitan cien billetes de $100 para hacer $10,000 dólares.
3. Ahora usa barras de pegamento para pegar pilas de estas piezas cortadas de tarjetas de índice juntas, cuatro piezas por pila. Una vez que estén secos, etiquete cada pila “$10,000” en bolígrafo o marcador negro y colorea con resaltador verde o marcador verde pálido. Cada pila representa ahora una pila de billetes de 100, cien dólares — ¡10.000 dólares en efectivo cada uno!
4. Haz 100 de estas pilas. Sí, ¡cada alumno de tu clase de 30 va a tener que producir 3-4 de estos para que tengas suficiente! Una vez que tienes cien de estas pilas —cada una representando $10,000—, entonces has 'impreso' un millón de dólares... ¡y ahora sabes cómo se sienten esas personas de la Casa de la Moneda de los Estados Unidos! ¡Ganar dinero es mucho trabajo!
5. Haga una pequeña bandeja de cafetería con un trozo de cartón o plástico de un recipiente de leche. Pega esto en las manos de la segunda figura de acción y apila los $1,000,000 de dólares en ella. Tendrás que apilar pulcramente, hace un montón bastante ordenado de efectivo, ¿no? ¡Este es un modelo bastante bueno para el tamaño físico de un millón de dólares en efectivo en billetes de $100! (¡GRAN sonrisa, pequeño!)

Explorando el modelo de números grandes

1. Ahora es el momento de ir a lo grande... ¡es hora de ganar mil millones de dólares! No, no vamos a necesitar muchas más tarjetas de índice, una sola carpeta manila y un poco de pegamento blanco y marcadores van a funcionar bien. Mil millones de dólares es una pila de billetes de 100 dólares que es mil veces más grande que nuestra pila de millones de dólares. Este es un cubo cuidadosamente apilado de billetes de $100 que mide ocho pies de largo en cada lado. Asumiendo que tu figura de acción de 2 pulgadas de alto mide 6 pies de alto, planeemos una pila de dinero ficticio que es un cubo de 2½ pulgadas. Toma tu carpeta manila y corta el cubo de 2.5 pulgadas como se muestra en el diagrama a continuación, pégala y decórala.

Para darte una idea, nuestra pila de mil millones de dólares contiene diez millones de billetes de 100 dólares. Esto es como tener un cubo sólido de madera densa de 8 pies en un lado: pesaría diez toneladas (10,000 kg), y solo las carretillas elevadoras industriales más grandes podrían moverlo.

2. Bien, lo grande es una cosa relativa. ¿Y un billón de dólares? Bueno, consideremos el campo de fútbol escolar estándar... sí, de verdad. Si tomamos una cancha de fútbol americano escolar de 100 yardas x 60 yardas, obtenemos un área de 6,000 yardas cuadradas. Por otro lado, si tenemos mil cubos de mil millones de dólares, eso hace 6,250 yardas. Eso significa que nuestra pila de diez mil millones de billetes de 100 dólares ocuparía todo un campo de fútbol, además de unos 8 pies adicionales en cada extremo para tener espacio para los goles, y lo apilaría a ocho pies de profundidad en billetes de 100 dólares cuidadosamente apilados... Sí, un billón de dólares es MUCHO dinero.
3. Para mantenernos en escala, necesitaremos un área de 10'4” x 4'2” y 2.5” de alto. Esto puede ser un poco mucho para que tu clase lo aborde, pero si quieres construirlo en secciones y ponerlos uno al lado del otro, hace una exhibición poderosa en el piso del gimnasio... especialmente si haces pequeñas porterías de fútbol y usas una pequeña bola de goma para un balón de fútbol y tienes varias figuras de acción corriendo por ahí ¡eso!
4. Si modelar algo tan grande es un poco demasiado, considere tomar un cuadrado de cartón de 3 pies y medir y construir un cubo como se muestra a continuación. Que sea de 30 pulgadas de largo, 18 pulgadas de ancho y 1½ pulgadas de alto. En esta escala, tu figura mide casi ¼ de pulgada de alto. Nunca había visto una figura de acción o juguete tan pequeño, supongo que solo tendrías que dibujar uno en papel y pegarlo a tu campo de fútbol de dinero (¡no olvides esa gran sonrisa!)
5. Ah, ¿y si quieres modelar la deuda nacional en la escala de nuestra figura de acción? Eso es una pila de bloques de mil millones de dólares, 10'4” de largo, 4'2” de ancho y 4' de alto. Eso son diecinueve billones de dólares... ¡y está cobrando intereses!

Preguntas de Discusión

1. ¡Has ganado la lotería! Te ofrecen tu opción: ¡Mil millones de dólares hoy... o un millón de dólares diarios durante un año! ¿Cuál deberías elegir y por qué?
   • Respuesta Mil millones es 1000 veces más grande que un millón. El año dura solo 365 días — ¡terminarías con solo 1/3 del dinero si te llevaras el millón al día!
2. Un nuevo proyecto de construcción de carreteras costará 1.3 mil millones de dólares. ¿Cuánto dinero representa el .3?
   • ¡Contesta 300 millones de dólares!

Materiales Suplementarios

Profundizando

Hablar de dinero es divertido, pero los estudiantes a menudo no tienen un buen conocimiento del dinero, especialmente cuando son más jóvenes. El problema del millón de billones de billones puede ser divertido de muchas maneras, hagamos algo que la mayoría de los estudiantes conocen y aman: las donas.

Obtienes 12 donas en una caja de 9x9x4 pulgadas. Ahora pídele a tus alumnos que descubran el tamaño y el espacio para una mayor cantidad de donas.

1. ¿Cuántas pulgadas cúbicas hay en una caja de donuts? (Largo x Ancho x Alto)

a. 324 in3

2. ¿Cuántas cajas para contener 1000 donas? ¿Cuántas pulgadas cúbicas es esta?

a. 83.33 cajas, 27,000 in3 en total

b. ¡Este es un cubo de donas de 30 pulgadas!

3. Si un cubo de 30 pulgadas contiene 1000 donas, ¿qué tan grande será un millón de donas?

a. Un millón de donas es 1000 veces más grande: nuestro cubo debe ser 10 veces más grande en cada lado: ¡300 pulgadas o 25 pies de ancho, largo y alto!

b. Se trata de tres aulas de 25 x 25 pies con techos de 8 ½ pies, ¡completamente llenos de piso a techo con donas!

4. ¿Qué tan grandes son los mil millones de donas?

a. ¡Mil veces más grande! ¡Tres mil aulas llenas de donas!

5. ¿Qué tan grandes son un billón de donas?

a. ¡Mil veces más grande! ¡Tres millones de aulas llenas de donas!

b. Tres millones de aulas con 25 alumnos cada una serían 75 millones de estudiantes. ¡Se trata del número de estudiantes en Estados Unidos, México y Canadá combinados!

Ser astrónomo

¿Qué significa millones, mil millones y billones para un astrónomo? Consideremos el tamaño y escala del sistema solar para hacernos una idea. Una de las medidas más importantes que hacen los astrónomos es la distancia, ¿qué tan lejos en el espacio están los planetas, las lunas y las estrellas entre sí?

Mil kilómetros. Esta es una buena escala para medir lunas dando vueltas a planetas. Pocas lunas tienen más de 1000 kilómetros de ancho; la mayoría tienen entre 100 y 1000 kilómetros de diámetro. ¡Nuestra propia Luna tiene unos 3.500 kilómetros de ancho y es uno de los satélites más grandes de nuestro sistema solar!

Un millón de kilómetros. Esta es una buena escala para medir las órbitas de lunas que circulan alrededor de los planetas. Si miras todas las lunas de nuestro sistema solar (¡hay cientos de ellas!) , casi todos se encuentran a menos de 1.000.000 km del planeta en el que orbitan. Nuestra propia Luna rodea la Tierra a una distancia promedio de unos 385.000 km, ¡aproximadamente a un tercio de un millón de kilómetros de distancia!

Mil millones de kilómetros. Esta es una buena escala para medir la distancia desde una estrella hacia fuera a sus planetas. Los planetas principales más exteriores de nuestro propio sistema solar están a unos tres mil millones de kilómetros del Sol. La influencia del Sol se extiende solo alrededor de 20 mil millones de kilómetros; más lejos que esto, la gravedad y el campo magnético del Sol no tienen ninguna influencia en absoluto. Los astrónomos llaman a este espacio interestelar.

Sólo las dos naves espaciales Voyager lo han hecho tan lejos de la Tierra. Fueron lanzadas hace 40 años en 1977, ambas sondas están ahora a unos 20 mil millones de km de la Tierra y alejándose de nosotros a unos 60.000 kph. A este ritmo, ¡alcanzarán la marca de un billón de kilómetros en su recorrido en unos dos mil años!

Un billón de kilómetros. Esta es una buena escala para medir las distancias entre estrellas. Se necesita un haz de luz un año para recorrer seis billones de kilómetros, esto se llama año luz. La estrella más cercana a nosotros está a poco más de cuatro años luz de distancia, ¡o a unos 25 billones de kilómetros de distancia!

Seguimiento

Busque ejemplos en las noticias que usen los términos millones, mil millones o billones. Ayudará si buscas ejemplos que hablen de dinero como presupuestos nacionales o estatales. Los sitios web de ciencia que tienen noticias espaciales como www.space.com tienen muchas historias que tratan con grandes números.