2.5: Ecuación de Planck

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La importancia de la ecuación de Planck en el nacimiento temprano de la teoría cuántica es bien conocida. Su derivación teórica se trata en cursos sobre mecánica estadística. En esta sección me limito a dar las ecuaciones pertinentes para referencia.

La ecuación de Planck se puede dar de varias maneras, y aquí presento cuatro. Todo se dará en términos de exitancia. El resplandor es la exitancia dividida por\(\pi\). (Ecuación 1.15.2.). Las cuatro formas son las siguientes, en las que he hecho uso de las ecuaciones 1.3.1 y la expresión\(h\nu = hc/\lambda\) para la energía de un solo fotón.

La tasa de emisión de energía por unidad de área por unidad de tiempo (es decir, la salida) por unidad de intervalo de longitud de onda:

\[M_\lambda = \frac{C_1}{\lambda^5 \left(e^{K_1/\lambda T} - 1 \right)} \tag{2.6.1} \label{2.6.1}\]

La tasa de emisión de fotones por unidad de área por unidad de tiempo por unidad de intervalo de longitud de onda:

\[N_\lambda = \frac{C_2}{\lambda^4 \left(e^{K_1/\lambda T} -1\right)} \tag{2.6.2} \label{2.6.2}\]

La tasa de emisión de energía por unidad de área por unidad de tiempo (es decir, la salida) por unidad de intervalo de frecuencia:

\[M_\nu = \frac{C_3 \nu^3}{e^{K_2 \nu/T} - 1} \tag{2.6.3} \label{2.6.3}\]

La tasa de emisión de fotones por unidad de área por unidad de tiempo por unidad de intervalo de frecuencia:

\[N_\nu = \frac{C_4 \nu^2}{e^{K_2 \nu/T} - 1} \tag{2.6.4} \label{2.6.4}\]

Las constantes son:

\ begin {array} {c c c c c r}
C_1 &=& 2\ pi hc^2 & = & 3.7418\ times 10^ {-16}\ text {W m} ^2 && (2.6.5)\
C_2 & = & 2\ pi c & = & 1.8837\ times 10^9\ text {m s} ^ {-1} && (2.6.6)\
C_3 & = & 2\ pi h /c ^2 & = & 4 .6323\ veces 10^ {-50}\ texto {kg s} && (2.6.7)\\
C_4 & = & 2\ pi/c^2 & = & 6.9910\ veces 10^ {-17}\ texto {m} ^ {-2}\ texto {s} ^2 && (2.6.8)\
K_1 & = & hc/k & = & 1.4388\ veces 10^ {-2}\ texto {m K} && (2.6.9)\\
K_2 & = & h/k & = & 4.7992\ veces 10^ {-11}\ texto {s K} && (2.6.10)\\
\ final {array}

Símbolos:

\ begin {array} {l}
h=\ text {constante de Planck}\\
k=\ texto {constante de Boltzmann}\\
c =\ texto {velocidad de la luz}\\
T =\ texto {temperatura}\\
\ lambda =\ texto {longitud de onda}\\
\ nu =\ texto {frecuencia}\\
\ end {array}