2.6: Ley de Viena
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Las longitudes de onda o frecuencias a las que estas funciones alcanzan un máximo, y cuáles son estos valores máximos, se pueden encontrar por diferenciación de estas funciones. No todos llegan al máximo a la misma longitud de onda. Para las cuatro funciones de Planck discutidas en la Sección 2.6 (Ecuaciones 2.6.1- 2.6.4), las longitudes de onda o frecuencias a las que ocurren los máximos están dadas por:
Para la Ecuación 2.6.1:
\[\lambda = W_1/T \label{2.7.1}\]
Para la Ecuación 2.6.2:
\[\lambda = W_2 / T \label{2.7.2}\]
Para la Ecuación 2.6.3:
\[\nu = W_3 T \label{2.7.3}\]
Para la Ecuación 2.6.4:
\[\nu = W_4 T \label{2.7.4}\]
Cualquiera de estas ecuaciones (pero más usualmente la primera) puede ser referida como ley de Viena.
Las constantes son
\ begin {array} {c c}
w_n =\ frac {hc} {kx_n}, & (n=1,2)
\ end {array}
\ begin {array} {c c}
w_n =\ frac {kx_n} {h}, & (n=3,4)
\ end {array}
donde\(x_n\) están las soluciones de
\[x_n = (6-n) \left(1-e^{-x_n} \right)\]
y tener los valores
\[x_1 = 4.965114\]
\[x_2 = 3.920690\]
\[x_3 = 2.821439\]
\[x_4 = 1.593624\]
Las constantes de Wien tienen entonces los valores
\[W_1 = 2.8978 \times 10^{-3} \ \text{m K}\]
\[W_2 = 3.6697 \times 10^{-3} \ \text{m K}\]
\[W_3 = 5.8790 \times 10^{10} \ \text{Hz K}^{-1}\]
\[W_4 = 3.3206 \times 10^{10} \ \text{Hz K}^{-1}\]
Las ordenadas máximas de las funciones vienen dadas por
\[M_\lambda (\text{max}) = A_1 T^5\]
\[N_\lambda ( \text{max}) = A_2 T^4\]
\[M_\nu (\text{max}) = A_3 T^3\]
\[N_\nu (\text{max}) = A_4 T^2\]
Las constantes\(A_n\) vienen dadas por
\ begin {array} {c c}
a_n =\ frac {2\ pi k^ {6-n} y_n} {h^4 c^3}, & (n=1,2)\\
\ end {array}
\ begin {array} {c c}
a_n =\ frac {2\ pi k^ {6-n} y_n} {h^2 c^2}, & (n=3,4)\\
\ end {array}
donde\(y_n\) son números adimensionales definidos por
\[y_n = \frac{x_n^{6-n}}{e^{x_n}-1}\]
Es decir,
\[y_1 = 21.20144\]
\[y_2 = 4.779841\]
\[y_3 = 1.421435\]
\[y_4 = 0.6476102\]
\(A_n\)Por lo tanto, las constantes tienen los valores
\ begin {array} {l l}
A_1 = 1.2867\ times 10^ {-5} &\ text {W m} ^ {-2}\ text {K} ^ {-5}\ text {m} ^ {-1}\
\ end {array}
\ begin {array} {l l}
A_2 = 2.1011\ veces 10^ {17} &\ texto {ph s} ^ {-1}\ texto {m} ^ {-2}\ texto {K} ^ {-4}\ texto {m} ^ {-1}\
\ final {array}
\ begin {array} {l l}
A_3 = 5.9568\ times 10^ {-19} &\ text {W m} ^ {-2}\ texto {K} ^ {-3}\ texto {Hz} ^ {-1}\\
\ end {array}
\ begin {array} {l l}
A_4 = 1.9657\ veces 10^ {4} &\ texto {ph s} ^ {-1}\ texto {m} ^ {-2}\ texto {K} ^ {-2}\ texto {Hz} ^ {-1}\
\ final {array}