2.8: Un argumento termodinámico

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He señalado que las leyes de Wien y Stefan pueden derivarse por diferenciación e integración respectivamente de la ecuación de Planck. Los lectores deberían probarlo por sí mismos aunque sólo sea para convencerse de que ni es particularmente fácil, ni de hecho es para empezar la derivación de la ecuación de Planck. Quienes tengan éxito pueden felicitarse justificadamente. Quienes fracasan pueden consolarse con la idea de que la ley de Stefan se derivaba de un simple argumento termodinámico mucho antes de la derivación de la ecuación de Planck, y no es necesario conocer la ecuación de Planck, y mucho menos cómo diferenciarla o integrarla, para llegar a la ley de Stefan. Si, sin embargo, hay que conocer un poco de termodinámica.

Entre la plétora de relaciones termodinámicas se encuentra una que dice:

\[\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left( \dfrac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P \label{eq1}\]

La derivación generalmente se inicia escribiendo entropía en función del volumen y la temperatura, y la derivación se encuentra comúnmente como preliminar a la derivación del efecto Joule para un gas no ideal. Cuando la Ecuación\ ref {eq1} se aplica a la ecuación de estado de un gas no ideal (por ejemplo un gas van der Waals), se puede usar para calcular la caída de temperatura durante una expansión de Joule. Deseamos aplicarlo, sin embargo, a la radiación en un recinto.

Suponemos que la radiación es isotrópica y en estado estacionario. Bajo tales condiciones, los fotones presumiblemente rebotarán en lugar de pegarse a las paredes, de lo contrario se agotarían rápidamente -o, si son absorbidos, otros están siendo emitidos al mismo ritmo. De cualquier manera, la presión de radiación viene dada por la Ecuación 1.18.3, i.e\(P = u/3\). La densidad de energía depende sólo de la temperatura y no del volumen; por lo tanto, el término\((\partial U / \partial V)_T\) en el lado izquierdo de la ecuación 2.9.1 es solo la densidad de energía\(u\). Y como la presión es\(u/3\), el término\((\partial P / \partial T)_V\) lo es\(\frac{1}{3}(du/dT)_V\).

Ecuación\ ref {eq1} por lo tanto se convierte

\[u = \frac{T}{3} \left( \frac{du}{dT} \right) - \frac{u}{3}\]

\[4u = T \frac{du}{dT},\]

lo que arroja la ley de Stefan tras la integración.