7.8: Ecuación de Schrödinger

Si el comportamiento de un electrón puede describirse como si fuera una onda, entonces presumiblemente puede describirse mediante la Ecuación de onda:

\[v^2 \nabla^2 \Psi = \ddot \Psi . \label{7.8.1}\]

Aquí\(v\) está la velocidad del electrón, o, más bien, la velocidad grupal de su manifestación de onda.

Las soluciones periódicas para\(\Psi\) están dadas por\(\ddot \Psi = - \omega^2 \Psi\), y, ya que\(\omega = kv\), Ecuación se\(\ref{7.8.1}\) puede escribir en la forma

\[\nabla^2 \Psi + k^2 \Psi = 0 . \label{7.8.2}\]

La energía total\(E\) es la suma de las energías cinéticas y potenciales\(T + V\), y la energía cinética es\(p^2 /(2m)\). Esta, por supuesto, es la forma no relativista para la energía cinética, y puedes juzgar por ti mismo a partir del cálculo que hiciste justo antes de llegar a la Ecuación 7.4.5 en qué medida esto se justifica o no. Si, en lugar de\(p\) sustituir la expresión de Broglie en forma de Ecuación 7.7.3, se llega a la Ecuación de Schrödinger:

\[\nabla^2 \Psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V) \Psi = 0 \label{7.8.3}\]

Para describir el comportamiento de una partícula en cualquier situación particular en la que se encuentre -por ejemplo, si se encuentra confinada al interior de una caja, o unida al final de un resorte, o dando vueltas alrededor de un protón- tenemos que poner en la Ecuación cómo\(V\) depende de las coordenadas. Los estados estacionarios de un átomo, es decir, sus niveles de energía, se describen por ondas estacionarias, más que progresivas, y hemos visto que las ondas estacionarias se describen como producto de una función del espacio y una función del tiempo:

\[\Psi ( x,y,z;t) = \psi (x,y,z). \chi (t). \label{7.8.4}\]

Si pones esto en la Ecuación\(\ref{7.8.3}\) (todo lo que tienes que hacer es anotar eso\(\nabla^2 \Psi = \chi \nabla^2 \psi\) y eso\(\Psi = \psi \chi\)), encuentras que la parte independiente del tiempo de la Ecuación de Schrödinger satisface

\[\nabla^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2} (E-V) \psi = 0. \label{7.8.5}\]

Cuando nos enfrentamos a situaciones variables en el tiempo -por ejemplo, cuando un átomo está interactuando con una onda electromagnética (luz), debemos usar la Ecuación completa de Schrödinger\(\ref{7.8.3}\). Cuando se trata de estados estacionarios (es decir, niveles de energía), tratamos con la Ecuación independiente del tiempo\(\ref{7.8.5}\).

Supongamos por un momento que estamos discutiendo no algo complicado como un átomo de hidrógeno, sino solo una partícula que se mueve de manera constante a lo largo del\(x\) eje -con ímpetu\(p_x\). Intentaremos describirlo como una función de onda progresiva de la forma

\[\Psi = \text{constant} \times e^{i(kx - \omega t)}. \label{7.8.6}\]

(Esa es solo una forma comprimida de escribir\(a \cos(kx − \omega t)+ b \sin(kx − \omega t)\).) Esto significa que

\[\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -i \omega \Psi \quad \text{and} \quad \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = -k^2 . \label{7.8.7}\]

Ahora vamos a usar,\(E = h \nu = \hbar \omega\) y\(p = h / \lambda = \hbar k\) además de la relación (no relativista, nota) entre la energía cinética y el impulso\(E = p^2 / (2m)\), y llegamos a

\[i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} + V(x,t) \Psi . \label{7.8.8}\]

En tres dimensiones (es decir, si la partícula no estaba restringida al\(x\) eje sino que se desplazaba en alguna dirección arbitraria en el espacio), esto aparece como:

\[i \hbar \dot \Psi = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V(x,y,z;t) \Psi . \label{7.8.9}\]

Esto se conoce como la ecuación dependiente del tiempo de Schrödinger.