Partícula en una caja

Habilidades para Desarrollar

• Derivar la ecuación de Schrodinger (opcional)
• Verbalizar la solución de la Ecuación de Schrodinger (opcional)

Muchos libros introductorios de química introducen la Ecuación de Schrodinger, pero los estudiantes no entienden lo que significa. Esta sección es opcional; si quieres saber de dónde provienen los orbitales, te puede ayudar a entender. Será más fácil seguir esta sección si conoces un poco de cálculo (básicamente, qué es un derivado).

La Ecuación de Schrodinger es el punto de partida para describir los movimientos de los electrones como ondas. De Broglie sugirió que sus “órbitas” estables en el modelo Bohr eran ondas estacionarias análogas a las de una cuerda de guitarra. Schrodinger extendió esta teoría usando la ecuación de onda y la función de onda. En lugar de órbitas circulares, las ondas de Schrodinger eran 3D y ocupaban todo el espacio del átomo, más como la vibración del aire en una flauta esférica que la vibración de una cuerda circular. La función wavefunction ψ (x, y, z, t) describe la amplitud de la vibración electrónica en cada punto del espacio y el tiempo. Por extraño que Schrodinger pareciera haber propuesto la función de onda sin entender completamente lo que significa, ¡pero funcionó! Aquí describiremos la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo para la simplicidad, que describe las ondas estacionarias. También consideraremos solo un sistema unidimensional, como una partícula que sólo se mueve linealmente, también por simplicidad. Así, encontraremos ψ (x) para una situación muy sencilla.

Schrodinger propuso que una onda estacionaria es descrita por la función wavefunction ψ cuando se ajusta a la siguiente ecuación diferencial

\[H\Psi = E\Psi\]

donde H es el operador hamiltoniano, que encuentra la energía total del sistema E. (Este enfoque utiliza el concepto de álgebra lineal de una función propia y un estado propio, pero no se preocupe si no sabe cuáles son estos.) La energía cinética KE viene dada por

\[KE = \frac{p^{2}}{2m}\]

donde p es el impulso (p = mv). Para una partícula que se mueve en 1D (a lo largo de x) Schrodinger asumió que una forma general permisible de ψ es

\[\Psi (x,\; t) = Ae^{\frac{i(px\; -\; Et)}{\hbar}}\]

donde A es una constante e i es el número imaginario (i ² = -1). (Esto viene de las ecuaciones E = hν y de la relación de Broglie λ = h/p Estas ecuaciones conectan la energía al tiempo y la distancia al impulso a través de la constante de Planck. Estas son también las cantidades que están mutuamente limitadas por el Principio de Incertidumbre.) Si esto es cierto, la derivada de la función de onda con respecto a x es

\[\frac{d\Psi}{dx}=\frac{ip}{\hbar}\Psi\]

Observe que esto es algo así como la ecuación Hψ = Eψ en que obtenemos la función de onda original multiplicada por alguna cantidad importante, como energía o impulso. Entonces el operador de momentum p (como el operador hamiltoniano, que da la energía) da el impulso p, y puede escribirse así:

\[\textbf{p}\Psi(x,\; t)=-i\hbar \frac{d\Psi}{dx}\]

Podemos escribir la ecuación de Schrodinger usando este hamiltoniano (que da energía total, KE + PE)

\[H\Psi (x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}\Psi}{dx^{2}}+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)\]

La energía potencial viene dada por V (x), que solo depende de la posición. La energía cinética se calcula usando la ecuación anterior, utilizando el cuadrado del operador de impulso (así, la primera derivada en el operador de impulso se convierte en una segunda derivada cuando el operador está cuadrado). Ahora, si elegimos una función V (x) podemos encontrar las funciones de onda que encajen! Usaremos un ejemplo sencillo: una partícula en una caja (en 1-D). El potencial es 0 dentro de la caja e infinito fuera de la caja. Entonces solo sabremos que la partícula tiene que estar dentro de la caja, pero usar V = 0. Entonces nuestra ecuación de Schrodinger se ve así

\[H\Psi (x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}\Psi}{dx^{2}}=E\Psi (x)\]

o básicamente la segunda derivada de ψ es un tiempo constante ψ. Hay diferentes formas de la solución, pero solo elegiremos una simple.

\[\frac{d}{dx}\; sin(ax)=a\; cos(ax)\]

\[\frac{d}{dx}\; cos(ax)=-a\; sin(ax)\]

Por lo tanto,

\[\frac{d^{2}}{dx^{2}}\; sin(ax)=-a^{2}\; sin(ax)\]

Entonces podemos escoger sin (ax) o cos (ax) o una suma de estos para la función wavefunction:

\[\Psi (x) = sin(ax) + cos(bx)\]

Hasta el momento, ¡no hay cuantización! El coeficiente a puede tener cualquier valor. Pero igual que una cuerda en una guitarra, la amplitud de ψ tiene que ser 0 en los bordes de la caja. Si solo usamos ψ (x) = sin (ax), entonces si el cuadro es de x = 0 a x = L, necesitamos tener un número entero de medias longitudes de onda en la caja. Entonces

\[a=\frac{n\pi}{L}\]

para que

\[\Psi (0) = \Psi (L)=0\]

Para resumir,

\[\Psi = sin \left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\]

es una solución de la ecuación de Schrodinger para el sistema 1-D particle-in-a-box. ¡Intenta meter esto y mira cuál es la energía! Deberías obtener

\[E_{n}=\frac{n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}\]

Hay un número infinito de soluciones, o funciones de onda que satisfacen la Ecuación de Schrodinger, correspondiente a n = 1, 2, 3... y cualquier suma de estas funciones de onda también es una solución. ¿Qué quieren decir? La amplitud de la onda de partículas viene dada por ψ. En la siguiente sección se explica con más detalle el significado de la función de onda, ahora que se le ha introducido a la matemática.

Colaboradores y Atribuciones

• Emily V Eames (City College of San Francisco)