1.5: La Solución de Ecuaciones Polinómicas
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El método Newton-Raphson es muy adecuado para la solución de Ecuaciones polinómicas, por ejemplo para la solución de una Ecuación quintica:
\[a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 = 0 . \label{1.5.1}\]
Antes de ilustrar el método, cabe señalar que, aunque pueda parecer poco elegante en la impresión, para evaluar numéricamente una expresión polinómica es mucho más fácil y rápido anidar los paréntesis y escribir el polinomio en la forma
\[a_0 + x(a_1 + x(a_2 + x(a_3 + x(a_4 + xa_5)))). \label{1.5.2}\]
Trabajando de adentro hacia afuera, vemos que el proceso es una multiplicación seguida de una adición, repetida una y otra vez. Esto es muy fácil ya sea que el cálculo se haga por computadora, por calculadora, o en la cabeza de uno.
Por ejemplo, evalúa la siguiente expresión en tu cabeza, para\(x = 4\):
\[ 2 - 7x + 2x^2 - 8x^3 - 2x^4 + 3x^5 . \nonumber\]
¿No pudiste? Pero ahora evalúe la siguiente expresión en su cabeza\(x = 4\) y vea lo (relativamente) fácil que es:
\[2 + x(-7 + x(2 + x(-8 + x (-2 + 3x)))). \nonumber\]
Fortran
Como ejemplo de cuán eficientes son los paréntesis anidados en un programa de computadora, aquí hay un programa FORTRAN para evaluar un polinomio de quinto grado. Se supone que el valor de x se ha definido en una variable FORTRAN llamada X, y que los seis coeficientes se\(a_0, a_1, ... a_5\) han almacenado en un vector como\(\text{A}(1), \ \text{A}(2),... \ \text{A}(6)\).
\(\text{Y} = 0 .\)
\(\text{DO1I} = 1,5\)
\(1 \quad \text{Y} = (\text{Y + A}(7-\text{I}))^* \text{X}\)
\(\text{Y} = \text{Y} + \text{A}(1)\)
¡El cálculo está terminado!
Volvemos ahora a la solución de
\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 = 0. \label{1.5.3}\]
Tenemos\[f^\prime (x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + 5a_5 x^4 . \label{1.5.4}\]
Ahora\[x = x - f / f^\prime , \label{1.5.5}\]
y tras la simplificación,
\[ x = \frac{-a_0 + x^2 ( a_2 + x(2a_3 + x(3a_4 + 4a_5 x )))}{a_1 + x(2a_2 + x(3a_3 + x(4a_4 + 5a_5 x)))}, \label{1.5.6}\]
que ahora está listo para la iteración numérica.
Por ejemplo, resolvamos
\[205 + 111x + 4x^2 -31x^3 - 10x^4 + 3x^5 = 0 \label{1.5.7}\]
Se podría obtener una primera suposición razonable dibujando una gráfica de esta función para ver dónde cruza el\(x\) eje -pero, a decir verdad, el proceso de Newton-Raphson suele funcionar tan bien que uno necesita dedicar poco tiempo a una primera conjetura; solo usa el primer número que se te ocurra, por ejemplo, \(x = 0\). Iteraciones posteriores luego ir
\ begin {array}
-1.846\ 847\\
-1.983\ 713\\
-1.967\ 392\\
-1.967\ 111\\
-1.967\ 110\\
\ nonumber
\ end {array}
Una pregunta que queda es: ¿Cuántas soluciones hay? La respuesta general es que una ecuación polinómica de enésimo grado tiene n soluciones. Esta afirmación necesita ser calificada un poco. Por ejemplo, las soluciones no necesitan ser reales. Las soluciones pueden ser imaginarias, como están, por ejemplo, en la Ecuación
\[1 + x^2 = 0 \label{1.5.8}\]
o complejos, como son, por ejemplo, en la Ecuación
\[1 + x + x^2 = 0 . \label{1.5.9}\]
Si las soluciones son reales pueden no ser distintas. Por ejemplo, la Ecuación
\[1 - 2x + x^2 = 0 \label{1.5.10}\]
tiene dos soluciones en\(x = 1\), y el lector puede ser perdonado por pensar que esto estira un poco el significado de “dos soluciones”. Sin embargo, si se incluyen raíces complejas y raíces reales repetidas, siempre es cierto que un polinomio de grado\(n\) th tiene\(n\) soluciones. Las cinco soluciones de la Ecuación quintica que resolvimos anteriormente, por ejemplo, son
\ begin {array} {c c c}
4.947\ 845\\
2.340\ 216\\
-1.967\ 110\\
-0.993\ 808 & + & 1.418\ 597i\\
-0.993\ 808 & - & 1.418\ 597i\
\ nonumber
\ end {array}
¿Se puede decir de antemano cuántas raíces reales tiene una Ecuación polinómica? La forma más segura de decir es trazar una gráfica de la función polinómica y ver cuántas veces cruza el\(x\) eje -eje. Sin embargo, es posible de manera limitada determinar de antemano cuántas raíces reales hay. Las siguientes “reglas” pueden ayudar. Algunos serán bastante obvios; otros requieren pruebas.
El número de raíces reales de un polinomio de grado impar es impar. Así, una Ecuación quintica puede tener una, tres o cinco raíces reales. No todas estas raíces necesitan ser distintas, sin embargo, por lo que esto es de ayuda limitada. Sin embargo, un polinomio de grado impar siempre tiene al menos una raíz real. El número de raíces reales de una Ecuación de grado par es par, pero las raíces no necesitan ser todas distintas, y el número de raíces reales podría ser cero.
Un límite superior al número de raíces reales se puede determinar examinando los signos de los coeficientes. Por ejemplo, considere nuevamente la Ecuación
\[205 + 111x + 4x^2 -31x^3 -10x^4 + 3x^5 = 0 . \label{1.5.11}\]
Los signos de los coeficientes, escritos en orden empezando por\(a_0\), son
\[ +++--+\nonumber\]
Ejecute los ojos a lo largo de esta lista, y cuente el número de veces que hay un cambio de signo. El signo cambia dos veces. Esto nos dice que no hay más de dos raíces reales positivas. (Si uno de los coeficientes de una Ecuación polinómica es cero, es decir, si uno de los términos “falta”, esto no cuenta como un cambio de signo).
Ahora cambia los signos de todos los coeficientes de potencias impares de\(x\):
\[+-++--\nonumber\]
Esta vez hay tres cambios de signo. Esto nos dice que no hay más de tres raíces reales negativas.
En otras palabras, el número de cambios de inicio de sesión nos\(f(x)\) da un límite superior al número de raíces reales positivas, y el número de cambios de inicio de sesión nos\(f(−x)\) da un límite superior al número de raíces reales negativas.
Una última “regla” es que las raíces complejas ocurren en pares conjugados. En nuestro ejemplo particular, estas reglas nos dicen que no hay más de dos raíces reales positivas, y no más de tres raíces reales negativas. Dado que el grado del polinomio es impar, hay al menos una raíz real, aunque no podemos decir si es positiva o negativa.
De hecho, la Ecuación particular, como hemos visto, tiene dos raíces reales positivas, una raíz real negativa y dos raíces complejas conjugadas.