1.11: Ajuste de un polinomio a un conjunto de puntos - Polinomios Lagrange e interpolación de Lagrange

Dado un conjunto de\(n\) puntos en una gráfica, hay muchos polinomios posibles de grado suficientemente alto que atraviesan todos\(n\) los puntos. Hay, sin embargo, solo un polinomio de grado menor\(n\) que eso pasará por todos ellos. La mayoría de los lectores no encontrarán dificultad para determinar el polinomio. Por ejemplo, considere los tres puntos (1, 1), (2, 2), (3, 2). Para encontrar el polinomio\(y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2\) que los atraviesa, simplemente sustituimos los tres puntos a su vez y de ahí configuramos las tres Ecuaciones simultáneas

\ begin {array} {c c l}
1 & = & a_0 + a_1 + a_2\\
2 & = & a_0 + 2a_1 + 4a_2\\
2 & = & a_0 + 3a_1 + 9a_2\
\ etiqueta {1.11.1}\ tag {1.11.1}
\ end {array}

y resolverlos para los coeficientes. Así\(a_0 = -1\),\(a_1 = 2.5\) y\(a_3 = -0.5\). De manera similar podemos encajar un polinomio de grado\(n − 1\) para pasar exactamente por\(n\) puntos. Si hay más de\(n\) puntos, tal vez deseemos encajar un polinomio de mínimos cuadrados de grado\(n − 1\) para acercarnos a los puntos, y mostramos cómo hacerlo en las secciones 1.12 y 1.13. Para los efectos de esta sección (1.11), sin embargo, nos interesa ajustar un polinomio de grado\(n − 1\) exactamente a través de\(n\) puntos, y vamos a mostrar cómo hacerlo por medio de polinomios Lagrange como alternativa al método descrito anteriormente.

Si bien el polinomio de menor grado que pasa por\(n\) puntos suele ser de grado\(n − 1\), podría ser menor que esto. Por ejemplo, podríamos tener cuatro puntos, todos los cuales encajan exactamente en una parábola (grado dos). No obstante, en general se esperaría que el polinomio fuera de grado\(n − 1\), y, de no ser así, todo lo que sucederá es que encontraremos que los coeficientes de las potencias más altas de\(x\) son cero.

Eso fue sencillo. Sin embargo, lo que vamos a hacer en esta sección es ajustar un polinomio a un conjunto de puntos mediante el uso de algunas funciones llamadas polinomios de Lagrange. Estas son funciones que Max Fairbairn describe como “ingeniosas astutamente” para ayudar con esta tarea.

Supongamos que tenemos un conjunto de\(n\) puntos:

\[(x_1, y_1) , (x_1, y_1), (x_2, y_2) , ... \ ...(x_i, y_i), ... \ ...(x_n, y_n), \]

y deseamos ajustarles un polinomio\(n-1\) de grado.

Apruebo que la función

\[y = \sum_{i=1}^n y_i L_i (x) \label{1.11.2} \tag{1.11.2}\]

es el polinomio requerido, donde las\(n\) funciones,\(L_i(x)\),\(i=1,n,\) son polinomios de\(n\) Lagrange, que son polinomios de grado\(n − 1\) definido por

\[L_i(x) = \prod^n_{j=1, \ j \neq i} \frac{x- x_j}{x_i - x_j} \label{1.11.3} \tag{1.11.3}\]

Escritos de manera más explícita, los tres primeros polinomios de Lagrange son

\[L_1(x) = \frac{(x- x_2)(x-x_3)(x-x_4)... \ ... (x - x_n)}{(x_1-x_2) (x_1 - x_3) (x_1 - x_4) ... \ ... (x_1 - x_n)}, \label{1.11.4}\tag{1.11.4}\]

y\[L_2(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4) ... \ ... ( x - x_n)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3) (x_2 - x_4) ... \ ... (x_2 - x_n)} \label{1.11.5} \tag{1.11.5}\]

y\[L_3 (x) = \frac{(x-x_1) (x-x_2)(x-x_4)... \ ...(x-x_n)}{(x_3 - x_1) (x_3 - x_2) (x_3 - x_4) ... \ ... (x_3 - x_n)} \label{1.11.6} \tag{1.11.6}\]

Al primer encuentro, esto parecerá sin sentido, pero con un simple ejemplo numérico quedará claro lo que significa y también que efectivamente ha sido ingeniosamente diseñado para la tarea.

Considerar los mismos puntos que antes, a saber (1, 1), (2, 2), (3, 2). Los tres polinomios de Lagrange son

\[L_1(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} = \frac{1}{2} (x^2 - 5x + 6), \label{1.11.7} \tag{1.11.7}\]

\[L_2(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} = -x^2 + 4x - 3 , \label{1.11.8} \tag{1.11.8}\]

\[L_3 (x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} = \frac{1}{2} (x^2 - 3x + 2) . \label{1.11.9} \tag{1.11.9}\]

La ecuación\(\ref{1.11.2}\) para el polinomio de grado\(n − 1\) que pasa por los tres puntos es, entonces,

\[y = 1 \times \frac{1}{2} (x^2 - 5x + 6) + 2 \times ( -x^2 + 4x - 3) + 2 \times \frac{1}{2} (x^2 - 3x + 2); \label{1.11.10} \tag{1.11.10}\]

es decir\[ y = - \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{2} x - 1 , \label{1.11.11} \tag{1.11.11}\]

que concuerda con lo que obtuvimos antes.

De una forma u otra, si hemos encontrado el polinomio que pasa por los\(n\) puntos, entonces podemos usar el polinomio para interpolar entre puntos no tabulados. Así podemos determinar los coeficientes en\(y = a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^2 ... \) resolviendo ecuaciones\(n\) simultáneas, o bien podemos usar Ecuación\(\ref{1.11.2}\) directamente para nuestra interpolación (sin necesidad de calcular los coeficientes\(a_0\)\(a_1\), etc.), en cuyo caso la técnica se conoce como Interpolación lagrangiana. Si la función tabulada para la que necesitamos un valor interpolado es un polinomio de grado menor que\(n\), el valor interpolado será exacto. De lo contrario será aproximado. Una ventaja de esto sobre la interpolación besseliana es que no es necesario que la función a interpolar sea tabulada a intervalos iguales en\(x\). La mayoría de las funciones matemáticas y tablas astronómicas, sin embargo, se tabulan a intervalos iguales, y en ese caso se puede utilizar cualquiera de los dos métodos.

Recordemos el ejemplo que teníamos en la Sección 1.10 sobre interpolación besseliana, en la que se nos pidió estimar el valor de\(\sin 51^\circ \) de la tabla

\ begin {array} {r l}
x^\ circ &\ sin x\
\\
0 & 0.0\\
30 & 0.5\\
60 &\ sqrt {3} /2 = 0.86603\\
90 & 1.0\
\ final {array}

Los cuatro polinomios lagrangianos, evaluados en\(x = 51\), son

\[L_1(51) = \frac{(51-30)(51-60)(51-90)}{(0-30)(0-60)(0-90)} = - 0.0455, \]

\[L_2(51) = \frac{(51-0)(51-60)(51-90)}{(30-0)(30-60)(30-90)} = +0.3315, \]

\[L_3(51) = \frac{(51-0)(51-30)(51-90)}{(60-0)(60-30)(60-90)} = +0.7735, \]

\[L_4 (51) = \frac{(51-0)(51-30)(51-60)}{(90-0)(90-30)(90-60)} = -0.0595. \]

Ecuación\(\ref{1.11.2}\) entonces nos da

\(\sin 51^\circ = 0 \times (-0.0455) + 0.5 \times 0.3315 + 0.86603 \times 0.7735 + 1 \times (-0.0595) \)
\(= 0.776\).

Esto es lo mismo que obtuvimos con la interpolación besseliana, y se compara bien con el valor correcto de\(0.777\). Vuelvo a señalar, sin embargo, que el método lagrangiano se puede utilizar si la función no se tabula a intervalos iguales, mientras que el método besseliano requiere tabulación a intervalos iguales.