2.8: Ajuste de una sección cónica a través de n puntos

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¿Cuál es la mejor elipse que pasa cerca de los siguientes\(16\) puntos?

\(( \ 1,50) \ (11,58) \ (20,63) \ (30,60)\)
\((42,59) \ (48,52) \ (54,46) \ (61,42)\)
\((61,19) \ (45,12) \ (35,10) \ (25,13)\)
\((17,17) \ (14,22) \ ( \ 5,29) \ ( \ 3,43)\)

Esto se responde sustituyendo cada punto a su vez\((x , y)\) en la Ecuación

\[ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + 1 = 0, \label{2.9.1} \tag{2.9.1}\]

obteniendo así 16 Ecuaciones en los coeficientes\(a\),\(h\),\(b\),\(g\),\(f\). (El término constante puede tomarse como unidad.) Estas son las Ecuaciones de la condición. Entonces se pueden configurar y resolver las cinco Ecuaciones normales para dar esos valores para los coeficientes que darán como resultado que la suma de los cuadrados de los residuales sea menor, y es en ese sentido que resulta la “mejor” elipse. Los detalles del método se dan en el capítulo sobre métodos numéricos. La solución real para los puntos dados anteriormente se deja como un ejercicio para lo energético.

Podría pensarse que ahora estamos bien en el camino de hacer alguna teoría orbital real. Después de todo, supongamos que tenemos varias posiciones de un planeta en órbita alrededor del Sol, o varias posiciones del componente secundario de una estrella binaria visual con respecto a su componente primario; ahora podemos encajar una elipse a través de estas posiciones. Sin embargo, en una situación orbital real tenemos alguna información adicional así como una restricción adicional. La información adicional es que, para cada puesto, también tenemos un tiempo. La restricción es que la órbita que deducimos debe obedecer la segunda ley de movimiento planetario de Kepler, es decir, que el vector de radio barre áreas iguales en tiempos iguales. Tendremos que esperar a la Parte II antes de llegar realmente a las órbitas de cómputos.