3.7: Rotación de Ejes, Tres Dimensiones. Ángulos Eulerianos

Consideramos ahora dos conjuntos de ejes ortogonales\(\text{O}x, \ \text{O}y, \ \text{O}z\) y\(\text{O}x^\prime, \ \text{O}y^\prime, \ \text{O}z^\prime\) en el espacio tridimensional e inclinados entre sí. Un punto en el espacio puede ser descrito por sus coordenadas\((x,y,z)\) con respecto a un conjunto de bases o\((x^\prime ,y^\prime ,z^\prime)\) con respecto al otro. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas\((x,y,z)\) y las coordenadas\((x^\prime ,y^\prime ,z^\prime)\)?

Primero necesitamos describir exactamente cómo se inclinan los ejes imprimados con respecto a los ejes no imprimados. En la siguiente figura se muestran los ejes\(\text{O}x, \ \text{O}y\) y\(\text{O}z\). También se muestran los ejes\(\text{O}x^\prime\) y\(\text{O}z^\prime\); el eje\(\text{O}y^\prime\) se dirige detrás del plano del papel y no se dibuja. La orientación de los ejes imprimados con respecto a los ejes no imprimados se describe por tres ángulos\(θ , \ \phi\) y\(ψ\), conocidos como los ángulos eulerianos, y se muestran en la figura\(\text{III.19}\).

Las definiciones precisas de los tres ángulos se pueden entender mediante tres rotaciones consecutivas, ilustradas en figuras\(\text{III.20,21,22}\).

\(\text{FIGURE III.19}\)

Primero, una rotación a través del sentido contrario a\(\phi\) las agujas del reloj alrededor\(\text{O}z\) del eje para formar un conjunto de ejes intermedios\(\text{O}x_1 , \ \text{O}y_1 , \ \text{O}z_1\), como se muestra en la figura\(\text{III.20}\). Los\(\text{O}z_1\) ejes\(\text{O}z\) y son idénticos. La parte (b) muestra la rotación como se ve al mirar directamente hacia abajo del eje\(\text{O}z\) (o\(\text{O}z_1\)).

\(\text{FIGURE III.20}\)

La relación entre las\((x_1, \ y_1 , \ z_1)\) coordenadas\((x, y, z)\) y es

\[\pmatrix{x_1 \\ y_1} = \pmatrix{\cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi} \pmatrix{x \\ y}. \label{3.7.1} \tag{3.7.1}\]

A continuación, una rotación en\(θ\) sentido antihorario alrededor del\(\text{O}x_1\) eje para formar un conjunto de ejes\(\text{O}x_2 , \ \text{O}y_2 , \ \text{O}z_2\). Los\(\text{O}x_2\) ejes\(\text{O}x_1\) y son idénticos (Figura\(\text{III.21}\)). La parte (b) de la figura muestra la rotación como se ve al mirar directamente hacia el origen a lo largo del eje\(\text{O}x_1\) (o\(\text{O}x_2\)).

\(\text{FIGURE III.21}\)

La relación entre las\((x_2 , y_2 , z_2)\) coordenadas\((x_1 , y_1 , z_1)\) y es

\[\pmatrix{y_2 \\ z_2} = \pmatrix{\cos θ & \sin θ \\ -\sin θ & \cos θ} \pmatrix{y_1 \\ z_1}. \label{3.7.2} \tag{3.7.2}\]

Por último, una rotación a través del sentido contrario a\(ψ\) las agujas del reloj alrededor del\(\text{O}z_2\) eje para formar el conjunto de ejes\(\text{O}x^\prime, \text{O}y^\prime , \text{O}z^\prime\) (figura\(\text{III.22}\)). Los\(\text{O}z^\prime\) ejes\(\text{O}z_2\) y son idénticos. La parte (b) de la figura muestra la rotación como se ve al mirar directamente hacia abajo del eje\(\text{O}z_2\) (o\(\text{O}z^\prime\)).

\(\text{FIGURE III.22}\)

La relación entre las\((x^\prime , y^\prime , z^\prime)\) coordenadas\((x_2 , y_2 , z_2)\) y es

\[\pmatrix{x^\prime & y^\prime & z^\prime} = \pmatrix{\cos ψ & \sin ψ & 1 \\ -\sin ψ & \cos ψ & 0 \\ 0 & 0 & 0} \pmatrix{x_2 \\ y_2 \\ z_2}. \label{3.7.3} \tag{3.7.3}\]

Así tenemos para las relaciones entre\((x^\prime ,y^\prime ,z^\prime)\) y\((x,y,z)\)

\[\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime} = \pmatrix{\cos ψ & \sin ψ & 0 \\ -\sin ψ & \cos ψ & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmatrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos θ & \sin θ \\ 0 & -\sin θ & \cos θ} \pmatrix{\cos \phi & \sin \phi & 0 \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmatrix{x \\ y \\ z}. \label{3.7.4} \tag{3.7.4}\]

En la multiplicación de estas matrices, obtenemos

\[\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime} = \pmatrix{ \cos ψ \cos \phi - \cos θ \sin \phi \sin ψ & \cos ψ \sin \phi + \cos θ \cos \phi \sin ψ & \sin ψ \sin θ \\ -\sin ψ \cos \phi - \cos θ \sin \phi \cos ψ & -\sin ψ \sin \phi + \cos θ \cos \phi \cos ψ & \cos ψ \sin θ \\ \sin θ \sin \phi & - \sin θ \cos \phi & \cos θ} \pmatrix{x \\ y \\ z}. \label{3.7.5} \tag{3.7.5}\]

Lo inverso de esto se puede encontrar, como en el caso bidimensional, ya sea resolviendo estas tres Ecuaciones para\(x\),\(y\) y\(z\) (lo que sería bastante tedioso); o intercambiando las cantidades cebadas y no cebadas e invirtiendo el orden y los signos de todas las operaciones (reemplace\(ψ\) con\(−\phi\),\(θ\) con\(−θ\), y\(\phi\) con\(−ψ\)) que es menos tedioso; o reconociendo que el determinante de la matriz es la unidad y por lo tanto su recíproco es su transposición, lo que difícilmente es tedioso en absoluto. El lector debe verificar que el determinante de la matriz es la unidad multiplicándola y haciendo uso de identidades trigonométricas. La razón de que el determinante debe ser la unidad, sin embargo, y que la matriz de rotación debe ser ortogonal, es que la rotación de ejes no puede cambiar la magnitud de un vector.

Cada elemento de la matriz es el coseno del ángulo entre un eje en un conjunto de bases y un eje en el otro conjunto de bases. Por ejemplo, el segundo elemento en la primera fila es el coseno de los ángulos entre\(\text{O}x^\prime\) y\(\text{O}y\). El primer elemento de la tercera fila es el coseno de los ángulos entre\(\text{O}z^\prime\) y\(\text{O}x\). La matriz se puede referir como la matriz de cosenos de dirección entre los ejes de un conjunto de bases y los ejes del otro conjunto de bases, y las relaciones entre las coordenadas se pueden escribir

\[\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime} = \pmatrix{c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33}} \pmatrix{x \\ y \\ z} \label{3.7.6} \tag{3.7.6}\]

\[\textbf{R}^\prime = \textbf{CR}. \label{3.7.7} \tag{3.7.7}\]

Observará la similitud de las formas de los cosenos de dirección con la fórmula coseno para la solución de un triángulo esférico, y de hecho los cosenos de dirección pueden derivarse todos dibujando y resolviendo los triángulos esféricos relevantes. Podrías (¡o no!) disfrutar tratando de hacer esto.

La matriz\(\textbf{C}\) de los cosenos de dirección es ortogonal, y las propiedades de una matriz ortogonal son las siguientes. El lector debe verificar esto utilizando las fórmulas para los cosenos de dirección en términos de los ángulos eulerianos. Las propiedades también se aplican, por supuesto, aunque más trivialmente, a la matriz de rotación en dos dimensiones.

1. det\(\textbf{C} = \pm 1\) y (det\(\textbf{C} = -1\) implica que los dos conjuntos de bases son de quiralidad opuesta o “mano”; es decir, si un conjunto de bases es diestro, el otro es zurdo.)
2. La suma de los cuadrados de los elementos en cualquier fila o cualquier columna es unidad. Esto simplemente significa que las magnitudes de los vectores ortogonales unitarios son de hecho unidad.
3. La suma de los productos de los elementos correspondientes en cualquiera de dos filas o cualesquiera dos columnas es cero. Esto es simplemente un reflejo del hecho de que el producto escalar o punto de cualquiera de dos vectores ortogonales unitarios es cero.
4. Cada elemento es igual a su propio cofactor. Esto es un reflejo del hecho de que el vector o producto cruzado de cualesquiera dos vectores ortogonales unitarios en orden cíclico es igual al tercero.
5. \(\textbf{C}^{-1} = \tilde{\textbf{C}}\), o el recíproco de una matriz ortogonal es igual a su transposición.

Las primeras cuatro propiedades anteriores pueden ser (y deben ser) utilizadas en un caso numérico para verificar que la matriz es efectivamente ortogonal, y pueden ser utilizadas para detectar y corregir errores.

Por ejemplo, se supone que la siguiente matriz es ortogonal, pero hay, de hecho, dos errores en ella. Utilizando las propiedades (b) y (c) anteriores, localizar y corregir los errores. (Quedará claro al hacer esto por qué la verificación de la propiedad (b) por sí sola no es suficiente.) Cuando haya corregido la matriz, vea si puede encontrar los ángulos eulerianos\(θ\),\(\phi\) y\(ψ\) sin ambigüedad de cuadrante. Como indicio, comenzar por la parte inferior derecha de la matriz y anotar, desde la forma en que se configuran los ángulos eulerianos, que\(θ\) debe ser entre\(0^\circ\) y\(180^\circ\), para que no haya ambigüedad de cuadrante. Los otros dos ángulos, sin embargo, pueden estar entre\(0^\circ\)\(360^\circ\) y y deben determinarse examinando los signos de sus senos y cosenos. Cuando haya calculado los ángulos eulerianos, otro ejercicio útil sería preparar un dibujo que muestre la orientación de los ejes imprimados con respecto a los ejes no imprimados.

\[\pmatrix{+ 0.075 \ 284 \ 882 \ 7 & -0.518 \ 674 \ 468 \ 2 & +0.851 \ 650 \ 739 \ 6 \\ -0.553 \ 110 \ 473 \ 2 & -0.732 \ 363 \ 000 \ 8 & +0.397 \ 131 \ 261 \ 9 \\ -0.829 \ 699 \ 337 \ 5 & + 0.442 \ 158 \ 963 \ 2 & -0.342 \ 020 \ 143 \ 3}\]

Obsérvese, como cuestión de buena práctica computacional, que los números se escriben en grupos de tres separados por medios espacios después del punto decimal, todos los números, positivos y negativos, están firmados, y no se omiten los ceros a la izquierda.