5.8.3: Discos Planos

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Consulte la figura\(\text{V.2A}\). El potencial a\(\text{P}\) partir del disco elemental es

\[dψ = -\frac{GδM}{\left( r^2 + z^2 \right)^{1/2}} = -\frac{2 \pi G σrδr}{\left( r^2 + z^2 \right)^{1/2}}. \label{5.8.10} \tag{5.8.10}\]

Por lo tanto, el potencial de todo el disco es

\[ψ = -2 \pi G σ \int_0^a \frac{r dr}{\left( r^2 + z^2 \right)^{1/2}}. \label{5.8.11} \tag{5.8.11}\]

La integral es trivial después de una sustitución brillante como\(X = r^2 + z^2\) o\(r = z \tan θ\), y llegamos a

\[ψ=-2 \pi G σ \left( \sqrt{z^2 + a^2} - z \right). \label{5.8.12} \tag{5.8.12}\]

Esto aumenta a cero como\(z → ∞\). También podemos escribir esto como

\[ψ = -\frac{2\pi Gm}{\pi a^2} \cdot \left[ z \left( 1 + \frac{a^2}{z^2} \right)^{1/2} - z \right] , \label{5.8.13} \tag{5.8.13}\]

y, si lo expandes binomialmente, ves que para grandes se\(z\) vuelve, como se esperaba,\(−Gm/z\).