9.7: Posición en una órbita hiperbólica
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Si un objeto interestelar se encontrara con el sistema solar desde el espacio interestelar, perseguiría una órbita hiperbólica alrededor del Sol. El primer objeto conocido de este tipo con una órbita hiperbólica original fue detectado en 2017, y se le dio el nombre de Oumuamua. Sin embargo, un cometa con una órbita casi parabólica desde el cinturón de Oort puede acercarse a Júpiter en su camino hacia el sistema solar interno, y su órbita puede ser perturbada en una órbita hiperbólica. Esto resultará en su pérdida final del sistema solar. Se conocen varios ejemplos de tales órbitas cometarias. Existe evidencia, a partir de estudios de radar de meteoros, de polvo meteoroidal que se encuentra con la Tierra a velocidades hiperbólicas con respecto al Sol, aunque si éstas se encuentran en órbitas que originalmente son hiperbólicas (y por lo tanto son del espacio interestelar) o si son de origen del sistema solar y han sido perturbado por Júpiter en órbitas hiperbólicas no se conoce.
Debo admitir que en realidad no he realizado un cálculo para una órbita hiperbólica, pero creo que simplemente podemos proceder de una manera similar a una elipse o una parábola. Así podemos comenzar con el momento angular por unidad de masa:
\[h = r^2 \dot{v} = \sqrt{G \textbf{M} l}, \label{9.8.1} \tag{9.8.1}\]
donde\[r = \frac{l}{1+e \cos v} \label{9.8.2} \tag{9.8.2}\]
y\[l = a(e^2 - 1). \label{9.8.3} \tag{9.8.3}\]
Si utilizamos unidades astronómicas para distancia y masa, obtenemos
\[\int_0^v \frac{dv}{(1+e \cos v)^2} = \frac{2 π}{a^{3/2} (e^2 - 1)^{3/2}} \int_T^t dt . \label{9.8.4} \tag{9.8.4}\]
Aquí estoy usando unidades astronómicas de distancia y masa y por lo tanto he sustituido\(4π^2\) por\(G \textbf{M}\).
Voy a escribir esto como
\[\int_0^v \frac{dv}{(1+e\cos v)^2} = \frac{2π(t -T)}{a^{3/2} (e^2 - 1)^{3/2}} = \frac{Q}{(e^2 - 1)^{3/2}} \label{9.8.5} \tag{9.8.5}\]
donde\(Q = \frac{2π(t - T) }{a^{3/2}}.\) Ahora tenemos que integrar esto.
Método 1
Guiado por el caso elíptico, pero teniendo en cuenta que ahora estamos lidiando con una hipérbola, voy a intentar la sustitución
\[\cos v = \frac{e - \cosh E}{e \cosh E - 1} \label{9.8.6} \tag{9.8.6}\]
Si intentas esto, creo que terminarás con
\[e \sinh E - E = Q. \label{9.8.7} \tag{9.8.7}\]
Esta es solo la analogía de la Ecuación de Kepler.
El procedimiento, entonces, sería calcular a\(Q\) partir de la Ecuación\ ref {9.8.5}. Después calcula\(E\) a partir de la Ecuación\ ref {9.8.7}. Esto podría hacerse, por ejemplo, mediante una iteración de Newton-Raphson de la misma manera que se hizo para la Ecuación de Kepler en el caso elíptico, tomando la iteración ahora la forma
\[E = \frac{Q + e (E \cosh E - \sinh E)}{e \cosh E - 1}. \label{9.8.8} \tag{9.8.8}\]
Luego se encuentra v de la Ecuación\ ref {9.8.6}, y la distancia heliocéntrica se encuentra desde la Ecuación polar a una hipérbola:
\[r = \frac{a(e^2 - 1)}{1 + e \cos v}. \label{9.8.9} \tag{9.8.9}\]
Método 2
El método 1 debería funcionar bien, pero tiene la desventaja de que puede que no estés tan familiarizado con el sinh y el cosh como con el pecado y cos, o puede que no haya un botón de sinh o cosh en tu calculadora. Creo que hay\(\text{SINH}\) y\(\text{COSH}\) funciones en\(\text{FORTRAN}\), y bien puede haber en otros lenguajes de computación. Pruébalo y mira. Pero tal vez nos gustaría tratar de evitar las funciones hiperbólicas, así que probemos la brillante sustitución
\[\cos v = -\frac{u(u-2e) + 1}{u(eu -2) + e}. \label{9.8.10} \tag{9.8.10}\]
Te habrás dado cuenta, cuando estabas aprendiendo cálculo, que muchas veces el profesor hacía una sustitución brillante, y se podía ver que funcionaba, pero nunca se podía entender qué hacía pensar al profesor de la sustitución. No quiero decirte qué me hizo pensar de esta sustitución, porque, cuando lo haga, verán que en realidad no es muy brillante en absoluto. Me acordé de que
\[\cosh E = \frac{1}{2} (\text{e}^E + \text{e}^E) \label{9.8.11} \tag{9.8.11}\]
y luego lo dejo\(\text{e}^E = u\), entonces
\[\cosh E = \frac{1}{2} (u + 1/u), \label{9.8.12} \tag{9.8.12}\]
y acabo de sustituir esto en la Ecuación\ ref {9.8.6} y obtuve la Ecuación\ ref {9.8.10}. Ahora bien, si pones la expresión\ ref {9.8.10} for\(\cos v\) en la Ecuación\ ref {9.8.5}, eventualmente, después de algunas líneas, obtienes algo que puedas integrar. Por favor, trabaje a través de él. Al final, sobre la integración de la Ecuación\ ref {9.8.5}, deberías obtener
\[\frac{1}{2}e (u- \frac{1}{u}) - \ln u = Q. \label{9.8.13} \tag{9.8.13}\]
Ya sabes por el Capítulo 1 cómo resolver la Ecuación\(f (x) = 0\), por lo que no hay dificultad para resolver la Ecuación\ ref {9.8.13} para\(u\). Resultados de la iteración de Newton-Raphson en
\[u = \frac{2u[e - u(1-Q \ln u)]}{u(eu - 2) + 2}, \label{9.8.14} \tag{9.8.14}\]
y esto debería converger de la manera rápida habitual.
Entonces el procedimiento en el método 2 es calcular a\(Q\) partir de la Ecuación\ ref {9.8.5}, luego calcular\(u\) a partir de la Ecuación\ ref {9.8.14}, y finalmente\(v\) a partir de la Ecuación\ ref {9.8.10} — todo muy sencillo.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Ponte un problema para asegurarte de que puedes llevar a cabo el cálculo. Después escribir un programa de computadora que va a generar\(v\) y\(r\) como una función de\(t\).