6.4: La Ley Biot-Savart

Como ahora sabemos que un cable que transporta una corriente eléctrica está rodeado por un campo magnético, y también hemos decidido cómo vamos a definir la intensidad de un campo magnético, queremos preguntar si podemos calcular la intensidad del campo magnético en las proximidades de diversas geometrías de electricidad conductor, como un cable recto, o una bobina plana, o un solenoide. Cuando estábamos calculando el campo eléctrico en las inmediaciones de diversas geometrías de cuerpos cargados, partimos de la Ley de Coulomb, que nos decía cuál era el campo a una distancia dada de una carga puntual. ¿Hay algo similar en el electromagnetismo que nos diga cómo varía el campo magnético con la distancia de una corriente eléctrica? En efecto la hay, y se le llama la Ley Biot-Savart.

\(\text{FIGURE VI.3}\)

La Figura VI.3 muestra una porción de un circuito eléctrico que transporta una corriente\(I\). La Ley Biot-Savart nos dice cuál\(\delta B\) es la contribución en un punto\(\text{P}\) de una porción elemental del circuito eléctrico de longitud\(\delta s\) a una\(r\) distancia de\(\text{P}\), el ángulo entre la corriente en\(\delta s\) y el radio vector de\(\text{P}\) a\(\delta s\) siendo\(q\). La Ley Biot-Savart nos dice que

\[\delta B ∝ \frac{I\delta s \sin \theta}{r^2}.\]

Esta ley nos permitirá, al integrarla alrededor de diversos circuitos eléctricos, calcular el campo magnético total en cualquier punto cercano al circuito.

Pero, ¿puedo probar la Ley Biot-Savart, o es solo una declaración calva de la nada? La respuesta no es ninguna. No puedo probarlo, pero tampoco es simplemente una declaración calva de la nada. En primer lugar, es una suposición no irrazonable suponer que el campo es proporcional a\(I\) y a\(\delta s\), y también inversamente proporcional a \(r^2\), ya que\(\delta s\), en el límite, se acerca a una fuente puntual. Pero aún eres libre de considerarlo, si lo deseas, como especulación, aunque sea una especulación razonable. La física es una ciencia experimental, y en esa medida no se puede “probar” nada en un sentido matemático; se puede experimentar y medir. La ley Biot-Savart nos permite calcular cuál debe ser el campo magnético cerca de un cable recto, cerca de una corriente circular plana, dentro de un solenoide, y de hecho cerca de cualquier geometría que puedas imaginar. Hasta el momento, después de haberla utilizado para calcular el campo cerca de millones de conductores de una miríada de formas y tamaños, el campo predicho siempre ha coincidido con la medición experimental. Por lo tanto, es probable que la ley Biot-Savart sea cierta —pero tienes toda la razón al afirmar que, no importa cuántos campos magnéticos haya predicho correctamente, siempre existe la posibilidad de que, algún día, prediga un campo para algún circuito de forma poco habitual que no esté de acuerdo con lo que se mide. Todo lo que se necesita es uno de esos ejemplos, y la ley es desmentida. Puedes, si lo deseas, tratar de descubrir, para un proyecto de doctorado, tal circuito; ¡pero no te recomendaría que dediques tu tiempo a ello!

Queda la cuestión de qué escribir para la constante de proporcionalidad. Somos libres de usar cualquier símbolo que nos guste, pero, en notación moderna, nosotros símbolo que usamos es\(\frac{\mu_0}{4\pi}\). ¿Por qué el factor\(4\pi\)? La inclusión de nos\(4\pi\) da lo que se llama una definición “racionalizada”, y se introduce por las mismas razones que introdujimos un factor similar en la constante de proporcionalidad para la ley de Coulomb, a saber, que da como resultado la aparición de\(4\pi\) geometrías esféricamente simétricas, \(2\pi\)en geometrías cilíndrico-simétricas, y no\(\pi\) donde el campo magnético es uniforme. No todos usan esta definición, y esto se discutirá en un capítulo posterior, pero sin duda es la recomendada.

En todo caso, la Ley Biot-Savart toma la forma

\[\delta B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\delta s \sin \theta}{r^2}.\label{6.4.2}\]

La constante\(\mu_0\) se llama permeabilidad del espacio libre, “espacio libre” significa vacío. El subíndice permite la posibilidad de que si hacemos un experimento en un medio distinto al vacío, la permeabilidad puede ser diferente, y entonces podemos usar un subíndice diferente, o ninguno en absoluto. En la práctica la permeabilidad del aire es muy poco diferente de la de un vacío, y por lo tanto normalmente utilizaré el símbolo\(\mu_0\) para experimentos realizados en el aire, a menos que estemos discutiendo medidas de muy alta precisión.

De la Ecuación\ ref {6.4.2}, podemos ver que las unidades SI de permeabilidad son\(\text{T m A}^{-1}\) (tesla metros por amp). En un capítulo posterior nos encontraremos con otra unidad —el henry — por una cantidad (inductancia) que aún no hemos descrito, y veremos entonces que una unidad más conveniente para la permeabilidad es\(\text{H m}^{-1}\) (henrys por metro) — pero nos estamos adelantando a nosotros mismos.

¿Cuál es el valor numérico de\(\mu_0\)? Eso lo revelaré en el siguiente capítulo.

de permeabilidad son\(\text{MLQ}^{-2}\). This means that you may, if you wish, express permeability in units of \(\text{kg m C}^{-2}\) – although you may get some queer looks if you do.

Pensamiento para el Día.

El boceto muestra dos elementos actuales, cada uno de longitud\(\delta s\), siendo la corriente la misma en cada uno pero en direcciones diferentes. ¿Es igual la fuerza sobre un elemento del otro pero opuesta a la fuerza en el otro del uno? Si no, ¿hay algo mal con la tercera ley de movimiento de Newton? Discuta esto durante el almuerzo.