6.6: Campo en el eje y en el plano de una bobina portadora de corriente circular plana
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Recomiendo encarecidamente que compare y contraste esta derivación y el resultado con el tratamiento del campo eléctrico en el eje de un anillo cargado en la Sección 1.6.4 del Capítulo 1. Efectivamente estoy copiando el dibujo de ahí y luego modificándolo según sea necesario.
\(\text{FIGURE VI.5}\)
La contribución al campo magnético a\(\text{P}\) partir de un elemento\(\delta s\) de la corriente es\(\dfrac{\mu I \delta s}{4\pi (a^2+x^2)}\) en la dirección mostrada por la flecha coloreada. Por simetría, el componente total de esta desde toda la bobina perpendicular al eje es cero, y el único componente de interés es el componente a lo largo del eje, que es los\(\frac{\mu I \delta s}{4\pi (a^2+x^2)}\) tiempos\(\sin \theta\).
La integral de\(\delta s\) alrededor de toda la bobina es solo la circunferencia de la bobina\(2\pi a\),, y si\(\sin \theta = \frac{a}{(a^2+x^2)^{1/2}},\) escribimos encontramos que el campo en\(\text{P}\) de toda la bobina es
\[B=\dfrac{\mu I a^2}{2(a^2+x^2)^{3/2}},\]
o\(N\) veces esto si hay\(N\) giros en la bobina. En el centro de la bobina el campo está
\[B=\dfrac{\mu I}{2a}.\]
El campo es mayor en el centro de la bobina y disminuye monótonamente a cero en el infinito. El campo se dirige a la izquierda en la Figura IV.5.
Podemos calcular el campo en el plano del anillo de la siguiente manera.
Considera un elemento del alambre\(\text{Q}\) de longitud\(ad\phi\). El ángulo entre la corriente en\(\text{Q}\) y la línea\(\text{PQ}\) es\(90^\circ - (\theta - \phi)\). La contribución al\(B\) -campo a\(\text{P}\) partir de la corriente\(I\) este elemento es
\[\nonumber \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{Ia\cos (\theta -\phi)\,d\phi}{r^2}.\]
El campo de todo el anillo es por lo tanto
\[\frac{2\mu_0Ia}{4\pi}\int_0^\pi \frac{\cos (\theta -\phi)d\phi}{r^2},\nonumber\]
donde
\[\nonumber r^2 = a^2+x^2 - 2ax\cos \phi,\]
y
\[\nonumber \cos (\theta -\phi) = \frac{a^2+r^2-x^2}{2ar}.\]
Esto requiere una integración numérica. Los resultados se muestran en la siguiente gráfica, en la que la abscisa\(x\),, es la distancia desde el centro del círculo en unidades de su radio, y la ordenada,\(B\), es el campo magnético en unidades de su valor\(\mu_0 I/(2a)\) en el centro. Más allá\(x = 0.8\), el campo aumenta rápidamente.
