6.8: Campo en el eje de un solenoide largo
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El solenoide, de radio\(a\), se enrolla con\(n\) vueltas por unidad de longitud de un cable que transporta una corriente en la dirección indicada por los símbolos\(\bigotimes\) y\(\bigodot\).
\(\text{FIGURE VI.8}\)
En un punto O en el eje del solenoide la contribución al campo magnético que surge de un anillo elemental de ancho\(\delta x\) (por lo tanto, que tiene\(n\, δx\) giros) a una\(x\) distancia de O es
\[\delta B = \frac{\mu n \,\delta x\, I a^2}{2(a^2+x^2)^{3/2}}=\frac{\mu nI}{2a}\cdot \frac{a^3 \delta x}{(a^2+x^2)^{3/2}}.\label{6.8.1}\]
Este campo se dirige hacia la derecha.
Expresémoslo en términos del ángulo\(θ\).
Tenemos\(x=a \tan \theta ,\, \delta x = a \sec^2 \theta \, \delta \theta ,\text{ and }\frac{a^3}{(a^2+x^2)^{3/2}}=\cos^3 \theta \). La ecuación\ ref {6.8.1} se convierte
\[\delta B = \frac{1}{2}\mu nI\cos \theta .\]
Si el solenoide es de longitud infinita, para encontrar el campo de todo el solenoide infinito, integramos desde\(θ = \pi/2 \text{ to }0\) y doblarlo. Así
\[B=\mu nI \int_0^{\pi/2}\cos \theta \,d\theta.\]
Así, el campo en el eje del solenoide es
\[B=\mu n I.\]
Este es el campo en el eje del solenoide. ¿Qué pasa si nos alejamos del eje? ¿El campo es un poco mayor a medida que nos alejamos del eje, o es un poco menos? ¿El campo es un máximo en el eje, o un mínimo? ¿O el campo pasa por un máximo, o un mínimo, en algún lugar entre el eje y la circunferencia? Responderemos a estas preguntas en la sección 6.11.