2.3: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función. Por ejemplo, aquí hay una ecuación diferencial que involucra\(f\) y su primera derivada:\[\frac{df}{dx} = f(x)\] Esto se llama una ecuación diferencial ordinaria porque involucra una derivada con respecto a una sola variable\(x\), en lugar de múltiples variables.

Encontrar una solución para la ecuación diferencial significa encontrar una función que satisfaga la ecuación. No existe un método único para resolver ecuaciones diferenciales. En algunos casos, podemos adivinar la solución; por ejemplo, probando diferentes funciones elementales, podemos descubrir que la ecuación diferencial anterior puede resolverse mediante\[f(x) = A \exp(x).\] Ciertas clases de ecuación diferencial se pueden resolver usando técnicas como las transformadas de Fourier, las funciones de Green, etc., algunas de las cuales se impartirá en este curso. Por otro lado, muchas ecuaciones diferenciales simplemente no tienen una solución analítica exacta conocida.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

La siguiente ecuación diferencial describe un oscilador armónico amortiguado:\[\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x(t) = 0.\] En este caso, tenga en cuenta que\(x(t)\) es la función, y\(t\) es la variable de entrada. Esto es diferente a nuestra notación anterior donde\(x\) estaba la variable de entrada, ¡así que no te confundas! Esta ecuación se obtiene aplicando la segunda ley de Newton a un objeto que se mueve en una dimensión sujeto tanto a una fuerza de amortiguación como a una fuerza restauradora,\(x(t)\) representando la posición en función del tiempo.

Soluciones específicas y soluciones generales

Cuando se enfrenta a una ecuación diferencial ordinaria, lo primero que debe verificar es la derivada más alta que aparece en la ecuación. A esto se le llama el orden de la ecuación diferencial. Si la ecuación tiene orden\(N\), entonces su solución general contiene parámetros\(N\) libres a los que se les puede asignar cualquier valor (esto es similar al concepto de constantes de integración, que discutiremos en el siguiente capítulo). Por lo tanto, si te sucede que adivina una solución, pero esa solución no contiene parámetros\(N\) libres, entonces sabes que la solución no es la más general.

Por ejemplo, la ecuación diferencial ordinaria\[\frac{df}{dx} = f(x)\] tiene el orden uno. Anteriormente hemos adivinado la solución\(f(x) = A \exp(x)\), que tiene un parámetro libre,\(A\). Entonces sabemos que nuestro trabajo está hecho: no hay solución más general que la que encontramos.

Una solución específica a una ecuación diferencial es una solución que no contiene parámetros libres. Una forma de obtener una solución específica es partir de una solución general y asignar valores reales a cada uno de los parámetros libres. En problemas de física, los valores asignados son comúnmente determinados por las condiciones de contorno. Por ejemplo, se le puede pedir que resuelva una ecuación diferencial de segundo orden dadas las condiciones de contorno\(f(0) = a\) y\(f(1) = b\); alternativamente, se le podrían dar las condiciones de límite\(f(0) = c\) y\(f'(0) = d\), o cualquier otra combinación de dos condiciones. Para una ecuación diferencial ordinaria de orden\(N\), necesitamos\(N\) condiciones para definir una solución específica.