4.3: Fórmula de Euler
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La fórmula de Euler es un resultado sumamente importante que establece que\[e^{iz} = \cos(z) + i \sin(z). \label{eulerf}\] Para probarlo, recordemos la definición de lo exponencial del Capítulo 1:\[\exp(z) = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^6}{6!} + \cdots\] Anteriormente, asumimos que la entrada a lo exponencial era un número real. Pero dado que los números complejos se pueden sumar y multiplicar usando las mismas reglas de álgebra que los números reales, podemos adoptar la misma fórmula de serie que la definición del exponencial complejo, una función que toma entradas complejas y da salidas complejas. Cuando la entrada pasa a ser real, el exponencial complejo da el mismo resultado que el exponencial real original.
Plugging\(iz\) como la entrada a la función exponencial compleja da\[\begin{align} \exp(iz) &= 1 + (iz) + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \cdots \\ &= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - i \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + i \frac{z^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots \\ & = \left(1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots\right) + i\left(z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots\right). \label{expiz}\end{align}\] Ahora, compare los dos términos entre paréntesis con las expansiones de serie para las funciones coseno y seno del Capítulo 2. Podemos definir las funciones coseno complejo y seno complejo utilizando la serie compleja correspondiente:\[\begin{align} \cos(z) &= 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots \\ \sin(z) &= z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots\end{align}\] Estas son coincidencias perfectas para las partes real e imaginaria de la Eq. \(\eqref{expiz}\)! De ahí que hayamos probado la Ec. \(\eqref{eulerf}\).
Una consecuencia importante de la fórmula de Euler es que\[\left|e^{i\theta}\right| = \sqrt{\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)} = 1 \qquad \mathrm{for}\; \theta \in \mathbb{R}.\]
Otra consecuencia es aquella\[e^{i\pi} = -1,\] que es una fórmula que relaciona dos constantes trascendentales\(e = 2.7182818285\dots\) y\(\pi = 3.141592654\dots\), por medio de la unidad imaginaria. (Vimos una relación diferente entre estas dos constantes al resolver la integral gaussiana en el Capítulo 3.)