4.5: Funciones complejas

Al derivar la fórmula de Euler en la Sección 4.3, introdujimos funciones complejas que se definieron tomando funciones matemáticas reales, como la exponencial, y haciéndolas aceptar entradas de números complejos. Echemos un vistazo más de cerca a cómo se comportan estas complejas funciones.

Funciones trigonométricas complejas

Las funciones complejas seno y coseno se definen utilizando las mismas expansiones en serie que las funciones coseno y seno reales, excepto que se permite que las entradas\(z\) sean complejas:\[\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots\\ \displaystyle\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots,\end{array}\right.\quad\quad z\in \mathbb{C}\] Es importante señalar que las salidas de las funciones trigonométricas complejas son complejas números también.

Algunas propiedades familiares de las funciones trigonométricas reales no se aplican a las versiones complejas. Por ejemplo,\(|\sin(z)|\) y no\(|\cos(z)|\) están delimitados por 1 cuando no\(z\) es real.

También podemos escribir las complejas funciones coseno y seno en términos de lo exponencial:\[\begin{align} \cos(z) &= \;\;\frac{1}{2}\left(e^{iz} + e^{-iz}\right) \label{cosz} \\ \sin(z) &= -\frac{i}{2}\left(e^{iz} - e^{-iz}\right). \label{sinz}\end{align}\] Este suele ser un paso conveniente a la hora de resolver integrales, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera la verdadera integral\[I = \int_0^\infty dx \; e^{- x} \, \cos(x).\] Una forma de resolver esto es usar la integración por partes, pero otra forma es usar la expansión compleja de la función coseno:\[\begin{align} I &= \int_0^\infty dx \; e^{- x} \,\frac{1}{2}\, \left[e^{ix} + e^{-ix}\right] \\ &= \frac{1}{2} \int_0^\infty dx \; \left[e^{(-1+i)x} + e^{(-1-i)x}\right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{e^{(-1+i) x}}{-1+i} + \frac{e^{(-1 - i) x}}{-1 - i}\right]_0^\infty \\ &= -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{-1+i} + \frac{1}{-1 - i}\right) \\ &= \frac{1}{2}. \end{align}\]

Identidades trigonométricas complejas

La fórmula de Euler proporciona una manera conveniente de lidiar con las funciones trigonométricas. Considera las fórmulas de adición\[\begin{align} \sin(z_1 + z_2) &= \sin(z_1) \cos(z_2) + \cos(z_1)\sin(z_2) \\ \cos(z_1 + z_2) &= \cos(z_1) \cos(z_2) - \sin(z_1)\sin(z_2).\end{align}\] Las pruebas estándar para estas fórmulas son geométricas: dibujas una figura, y resuelves un montón de relaciones entre los ángulos y lados de los diversos triángulos, haciendo uso de la fórmula pitagórica. Pero usando la fórmula de Euler, podemos probarlos algebraicamente. Por ejemplo,\[\begin{align} \cos(z_1)\cos(z_2) &= \frac{1}{4}\left(e^{iz_1} + e^{-iz_1}\right) \left(e^{iz_2} + e^{-iz_1}\right)\\ &= \frac{1}{4}\left[e^{i(z_1+z_2)} + e^{i(-z_1 + z_2)} + e^{i(z_1 -z_2)} + e^{-i(z_1+z_2)}\right] \\ \sin(z_1)\sin(z_2) &= -\frac{1}{4}\left(e^{iz_1} - e^{-iz_1}\right) \left(e^{iz_2} - e^{-iz_1}\right) \\ &= -\frac{1}{4}\left[e^{i(z_1+z_2)} - e^{i(-z_1 + z_2)} - e^{i(z_1 -z_2)} + e^{-i(z_1+z_2)}\right].\end{align}\] Así,\[\cos(z_1) \cos(z_2) - \sin(z_1)\sin(z_2) = \frac{1}{2}\left[e^{i(z_1+z_2)} + e^{-i(z_1+z_2)}\right] = \cos(z_1 + z_2).\] Como bono, estas fórmulas de adición ahora se mantienen para entradas complejas también, no solo entradas reales.

Funciones hiperbólicas

La fórmula de Euler también nos proporciona un vínculo entre las funciones trionométricas e hiperbólicas. A partir de la definición de las funciones hiperbólicas del Capítulo 1:\[\sinh(z) = \frac{1}{2}\left(e^{z} - e^{-z}\right), \quad\; \cosh(z) = \frac{1}{2}\left(e^{z} + e^{-z}\right)\] Comparando esto con las Eqs. \(\eqref{cosz}\)-\(\eqref{sinz}\), podemos ver que las funciones trigonométricas e hiperbólicas están relacionadas mediante el\[\begin{align} \sin(z) &= -i \sinh(iz), \quad \cos(z) = \cosh(iz) \\ \sinh(z) &= -i \sin(iz), \quad \cosh(z) = \cos(iz)\end{align}\] uso de estas relaciones, podemos relacionar las fórmulas de adición para fórmulas trigonométricas con las fórmulas de adición para funciones hiperbólicas, e.g.\[\begin{align} \cosh(z_1+z_2) &= \cos(iz_1 + iz_2) \\ &= \cos(iz_1)\cos(iz_2) - \sin(iz_1)\sin(iz_2) \\ &= \cosh(z_1)\cosh(z_2) + \sinh(z_1)\sinh(z_2).\end{align}\]