10.3: Transformadas de Fourier para funciones de dominio de tiempo

Hasta el momento, hemos estado tratando con funciones de una coordenada espacial\(x\). Por supuesto, a las relaciones matemáticas no les importa qué tipo de variable física estamos tratando, por lo que las mismas ecuaciones podrían aplicarse a funciones del tiempo\(t\). Sin embargo, hay una diferencia importante en la convención. Cuando se trata de funciones de la coordenada de tiempo\(t\), ¡es costumbre usar una convención de signos diferente en las relaciones de Fourier!

Las relaciones de Fourier para una función del tiempo,\(f(t)\), son:

Definición: Relaciones de Fourier

\[\begin{align}\left\{\;\,\begin{aligned}F(\omega) &= \;\int_{-\infty}^\infty dt\; e^{i\omega t}\, f(t) \\ f(t) &= \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi}\; e^{-i\omega t}\, F(\omega).\end{aligned}\;\,\right.\end{align}\]

En comparación con las relaciones de Fourier dadas anteriormente en la Ec. (10.2.9), los signos de los\(\pm i \omega t\) exponentes se voltean.

Hay una buena razón para esta diferencia en la convención de signos: surge de la necesidad de describir las ondas propagadoras, que varían tanto con el espacio como con el tiempo. Como se discute en el Capítulo 5, una onda plana de propagación puede describirse mediante una función de onda de la forma\[f(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)},\] donde\(k\) es el número de onda y\(\omega\) es la frecuencia angular. Escribimos la función de onda plana de esta manera para que positivo\(k\) indique propagación hacia delante en el espacio (es decir, en la\(+x\) dirección), y positivo\(\omega\) indica propagación hacia delante en el tiempo (es decir, en la\(+t\) dirección). Esto requiere que los\(\omega t\) términos\(kx\) y en el exponente tengan signos opuestos. Así, cuando\(t\) aumenta en alguna cantidad, un incremento correspondiente en\(x\) deja inalterado al exponente.

Como hemos visto, la relación inversa de la transformada de Fourier describe cómo una forma de onda se divide en una superposición de ondas elementales. Para una función de onda\(f(x,t)\), la superposición se da en términos de ondas planas:\[f(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi}\;\; e^{i(kx-\omega t)}\, F(k,\omega).\] Para ser consistentes con esto, necesitamos tratar las variables de espacio y tiempo con exponentes de signo opuesto:\[\begin{align} f(x) &= \int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi}\; e^{ikx}\, F(k) \\ f(t) &= \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi}\; e^{-i\omega t}\, F(\omega).\end{align}\] Las otras ecuaciones siguen de manera similar.