10.4: Propiedades Básicas de la Transformada de Fourier
- Page ID
- 125971
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
La transformada de Fourier tiene varias propiedades importantes. Todos estos pueden derivarse de la definición de la transformada de Fourier; las pruebas se dejan como ejercicios.
- La transformada de Fourier es lineal: si tenemos dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\), cuyas transformadas de Fourier son\(F(k)\) y\(G(k)\) respectivamente, entonces para cualquier constante\(a, b \in \mathbb{C}\),\[a f(x) + b g(x) \;\;\; \overset{\mathrm{FT}}{\longrightarrow} \;\;\; a F(k) + b G(k).\]
- Realizar una traducción de coordenadas en una función hace que su transformada de Fourier se multiplique por un factor de fase:\[f(x+b) \;\;\; \overset{\mathrm{FT}}{\longrightarrow} \;\;\; e^{ikb} \, F(k).\] Como consecuencia, las traducciones dejan el espectro de Fourier\(|F(k)|^2\) sin cambios.
- Si la transformada de Fourier de\(f(x)\) es\(F(k)\), entonces\[f^*(x) \quad \overset{\mathrm{FT}}{\longrightarrow} \;\; F^*(-k).\] Como consecuencia, la transformada de Fourier de una función real debe satisfacer la relación de simetría\(F(k) = F^*(-k)\), lo que significa que el espectro de Fourier es simétrico sobre el origen en el espacio k: \(\big|\,F(k)\,\big|^2 = \big|\,F(-k)\,\big|^2.\)
- Cuando se toma la derivada de una función, eso equivale a multiplicar su transformada de Fourier por un factor de\(ik\):\[\frac{d}{dx} f(x) \,\;\; \overset{\mathrm{FT}}{\longrightarrow} \;\;\; ik F(k).\]
Para las funciones del tiempo, debido a la diferencia en la convención de signos discutida en la Sección 10.3, hay un signo menos adicional:\[\frac{d}{dt} f(t) \;\;\;\; \overset{\mathrm{FT}}{\longrightarrow} \;\;\; -i\omega F(\omega).\]