10.5: Transformadas de Fourier de Ecuaciones Diferenciales

La transformada de Fourier es una herramienta útil para resolver muchas ecuaciones diferenciales. Como ejemplo, considere un oscilador armónico amortiguado sometido a una fuerza impulsora adicional\(f(t)\). Esta fuerza tiene una dependencia arbitraria del tiempo, y no es necesariamente armónica. La ecuación de movimiento es\[\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x(t) = \frac{f(t)}{m}.\] Para resolver\(x(t)\), primero tomamos la transformada de Fourier de ambos lados de la ecuación anterior. El resultado es\[- \omega^2 X(\omega) - 2 i\gamma \omega X(\omega) + \omega_0^2 X(\omega) = \frac{F(\omega)}{m},\] dónde\(X(\omega)\) y\(F(\omega)\) son las transformaciones de Fourier de\(x(t)\) y\(f(t)\) respectivamente. Para obtener el lado izquierdo de esta ecuación, se utilizaron las propiedades de la transformada de Fourier descritas en la Sección 10.4, específicamente la linealidad (1) y las transformadas de Fourier de las derivadas (4). Tenga en cuenta también que estamos utilizando la convención para funciones de dominio de tiempo introducida en la Sección 10.3.

La transformada de Fourier ha convertido nuestra ecuación diferencial ordinaria en una ecuación algebraica que se puede resolver fácilmente:\[X(\omega) = \frac{F(\omega)/m}{- \omega^2 - 2 i\gamma \omega + \omega_0^2}\] Sabiendo\(X(\omega)\), podemos usar la transformada inversa de Fourier para obtener\(x(t)\):\[x(t) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \, \frac{e^{-i\omega t}\, F(\omega)/m}{- \omega^2 - 2 i\gamma \omega + \omega_0^2}, \;\; \mathrm{where}\;\; F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty dt\; e^{i\omega t} f(t).\] Para resumir, el procedimiento de solución para el impulsado La ecuación del oscilador armónico consiste en (i) usar la transformada de Fourier\(f(t)\) para obtener\(F(\omega)\), (ii) usar la ecuación anterior para encontrar\(X(\omega)\) algebraicamente, y (iii) realizar una transformada inversa de Fourier para obtener\(x(t)\). Esta es la base del método de función de Green, un método para resolver sistemáticamente ecuaciones diferenciales que se discutirá en el próximo capítulo.