10.7: La función Delta

¿Qué sucede cuando alimentamos las relaciones de Fourier entre nosotros? Al enchufar la transformada de Fourier a la transformada inversa de Fourier, obtenemos\[\begin{align} f(x) &= \int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi} \, e^{ikx} F(k) \\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi} \, e^{ikx} \int_{-\infty}^\infty dx' e^{-ikx'} f(x')\\ &= \int_{-\infty}^\infty dx' \int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi} \, e^{ikx} e^{-ikx'} f(x')\\ &= \int_{-\infty}^\infty dx' \; \delta(x-x')\, f(x'),\end{align}\] En el último paso, hemos introducido\[\delta(x-x') = \int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi} \, e^{ik(x-x')},\] que se llama la función delta. De acuerdo con las ecuaciones anteriores, la función delta actúa como una especie de filtro: cuando la multiplicamos por cualquier función\(f(x')\) e integramos sobre\(x'\), el resultado es el valor de esa función en un punto determinado\(x\).

Pero aquí hay un problema: la definición integral anterior de la función delta no es convergente; en particular, el integrando no desaparece en\(\pm \infty\). Podemos sortear esto pensando en la función delta como un caso limitante de una integral convergente. Específicamente, tomemos\[\delta(x-x') = \lim_{\gamma \rightarrow 0} \, \int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi} \, e^{ik(x-x')} \, e^{-\gamma k^2}.\] For\(\gamma \rightarrow 0\), el “regulador”\(\exp(-\gamma k^2)\) que hemos insertado en el integrando va a uno, para que el integrando vuelva a lo que teníamos antes; por otro lado, para\(\gamma > 0\) el regulador asegura que el integrando se desvanezca en los puntos finales para que la integral esté bien definida. Pero la expresión de la derecha es la transformada de Fourier para un paquete de ondas gaussianas (ver Sección 10.6), por lo que\[\delta(x-x') = \lim_{\gamma \rightarrow 0} \; \frac{1}{\sqrt{4\pi\gamma}} \, e^{-\frac{(x-x')^2}{4\gamma}}.\] Esta es una función gaussiana de ancho\(\sqrt{2\gamma}\) y área\(1\). Por lo tanto, la función delta puede considerarse como el límite de una función gaussiana ya que su ancho va a cero mientras mantiene el área bajo la curva fija en la unidad (lo que significa que la altura del pico va al infinito).

La característica más importante de la función delta es que actúa como un filtro. Siempre que aparece en una integral, selecciona el valor del resto del integrando evaluado donde se centra la función delta:\[\int_{-\infty}^\infty dx \; \delta(x-x_0)\, f(x) = f(x_0).\] Intuitivamente, podemos entender este comportamiento a partir de la definición anterior de la función delta como el límite de ancho cero de un gaussiano. Cuando multiplicamos una función\(f(x)\) con una estrecha gaussiana centrada en\(x_0\), el producto se acercará a cero casi en todas partes, porque el gaussiano va a cero. El producto es distinto de cero solo en las proximidades de\(x = x_0\), donde los picos gaussianos. Y debido a que el área bajo la función delta es unidad, integrar ese producto sobre todo\(x\) simplemente da el valor de la otra función en el punto\(x_0\).

Nota

En física, la función delta se usa comúnmente para representar las distribuciones de densidad de partículas puntuales. Por ejemplo, la distribución de la masa dentro de un objeto puede ser representada por una función de densidad de masa. Asumiendo un espacio unidimensional para la simplicidad, definimos la densidad de masa\(\rho(x)\) como la masa por unidad de longitud en la posición\(x\). Por esta definición,\[M = \int_{-\infty}^\infty \rho(x)\, dx\] es la masa total del objeto. Ahora supongamos que la masa se distribuye entre partículas\(N\) puntuales, las cuales se ubican en distintas posiciones\(x_1\)\(x_2\),\(x_N\),..., y tienen masas\(m_1\)\(m_2\),,\(m_N\)... Para describir esta situación, podemos escribir la función de densidad de masa como\[\rho(x) = \sum_{j=1}^N \, m_j\, \delta(x-x_j).\] La razón de esto es que si nos integramos\(\rho(x)\) alrededor de la proximidad de la\(j\) -ésima partícula, el resultado es solo la masa de esa sola partícula, gracias a las características del delta función:\[\begin{align} \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+}\, \int_{x_j - \varepsilon}^{x_j + \varepsilon} \rho(x) \, dx &= \sum_{i=1}^N m_i\; \Big[\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+}\, \int_{x_j - \varepsilon}^{x_j + \varepsilon} \delta(x-x_i) \,dx\Big]\\ &= \sum_{i=1}^N m_i\; \delta_{ij} \\ &= m_j. \end{align}\] Del mismo modo, la integración\(\rho(x)\) sobre todo el espacio da la masa total\(m_1 + m_2 + \cdots + m_N\).