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6.2: Trabajo realizado por una Fuerza Constante

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    Fuerza en la Dirección del Desplazamiento

    El trabajo realizado por una fuerza constante es proporcional a la fuerza aplicada por el desplazamiento del objeto.

    objetivos de aprendizaje

    • Desplazamiento de contraste y distancia en situaciones de fuerza constante

    Trabajo realizado por una Fuerza Constante

    Cuando una fuerza actúa sobre un objeto a lo largo de una distancia, se dice que ha realizado trabajos sobre el objeto. Físicamente, el trabajo realizado sobre un objeto es el cambio en la energía cinética que experimenta ese objeto. Demostraremos rigurosamente ambas afirmaciones.

    El término trabajo fue introducido en 1826 por el matemático francés Gaspard-Gustave Coriolis como “peso levantado a través de una altura”, que se basa en el uso de máquinas de vapor tempranas para levantar cubos de agua de minas de mineral inundadas. La unidad de trabajo SI es el newton-metro o joule (J).

    Unidades

    Una forma de validar si una expresión es correcta es realizar un análisis dimensional. Hemos afirmado que el trabajo es el cambio en la energía cinética de un objeto y que también es igual a la fuerza multiplicada por la distancia. Deberían ponerse de acuerdo las unidades de estas dos. La energía cinética —y todas las formas de energía— tienen unidades de julios (J). De igual manera, la fuerza tiene unidades de newtons (N) y la distancia tiene unidades de metros (m). Si las dos declaraciones son equivalentes deberían ser equivalentes entre sí.

    \[\mathrm{N⋅m=kg\dfrac{m}{s^2}⋅m=kg\dfrac{m^2}{s^2}=J}\]

    Desplazamiento versus distancia

    Muchas veces se nos pedirá que calculemos el trabajo realizado por una fuerza sobre un objeto. Como hemos demostrado, esto es proporcional a la fuerza y a la distancia a la que se desplaza el objeto, no se mueve. Investigaremos dos ejemplos de una caja que se está moviendo para ilustrar esto.

    Problemas de ejemplo

    Aquí hay algunos problemas de ejemplo:

    (1.a) Considerar una fuerza constante de dos newtons (F = 2 N) actuando sobre una caja de masa tres kilogramos (M = 3 kg). Calcular el trabajo realizado en la caja si la caja se desplaza 5 metros.

    (1.b) Dado que la caja se desplaza 5 metros y la fuerza es de 2 N, multiplicamos las dos cantidades juntas. La masa del objeto dictará qué tan rápido se está acelerando bajo la fuerza, y así el tiempo que lleva mover el objeto del punto a al punto b. Independientemente del tiempo que tarde, el objeto tendrá el mismo desplazamiento y por lo tanto el mismo trabajo realizado sobre él.

    (2.a) Considera que la misma caja (M = 3 kg) es empujada por una fuerza constante de cuatro newtons (F = 4 N). Comienza en reposo y es empujado por cinco metros (d = 5m). Suponiendo una superficie sin fricción, calcule la velocidad de la caja a 5 metros.

    (2.b) Ahora entendemos que el trabajo es proporcional al cambio en la energía cinética, a partir de esto podemos calcular la velocidad final. ¿Qué sabemos hasta ahora? Sabemos que el bloque comienza en reposo, por lo que la energía cinética inicial debe ser cero. A partir de esto aislamos y resolvemos algebraicamente para la velocidad final.

    \[\mathrm{Fd=ΔKE=KE_f−0=\dfrac{1}{2}mv^2_f}\]

    \[\mathrm{v_f=\sqrt{2\dfrac{Fd}{m}}=\sqrt{2\dfrac{4N⋅5m}{2kg}}=\sqrt{10}m/s}\]

    Vemos que la velocidad final del bloque es de aproximadamente 3.15 m/s.

    Fuerza en ángulo con respecto al desplazamiento

    Una fuerza no tiene que, y rara vez lo hace, actuar sobre un objeto paralelo a la dirección del movimiento.

    objetivos de aprendizaje

    • Inferir cómo ajustar el movimiento unidimensional para nuestro mundo tridimensional

    Los Fundamentos

    Hasta ahora, hemos asumido que cualquier fuerza que actúe sobre un objeto ha sido paralela a la dirección del movimiento. Hemos considerado que nuestro movimiento es unidimensional, solo actuando a lo largo del eje x o y. Para examinar y comprender mejor cómo los operadores de la naturaleza en nuestro mundo tridimensional, primero discutiremos el trabajo en dos dimensiones para construir nuestra intuición.

    Una fuerza no tiene que, y rara vez lo hace, actuar sobre un objeto paralelo a la dirección del movimiento. En el pasado, derivamos eso\(\mathrm{W = Fd}\); tal que el trabajo realizado sobre un objeto es la fuerza que actúa sobre el objeto multiplicada por el desplazamiento. Pero esta no es toda la historia. Esta expresión contiene un supuesto término coseno, que no consideramos para fuerzas paralelas a la dirección del movimiento. “¿Por qué haríamos tal cosa? ” usted puede preguntar. Esto lo hacemos porque los dos son equivalentes. Si el ángulo de la fuerza a lo largo de la dirección del movimiento es cero, de tal manera que la fuerza es paralela a la dirección del movimiento, entonces el término coseno es igual a uno y no cambia la expresión. A medida que aumentamos el ángulo de la fuerza con respecto a la dirección del movimiento, cada vez se realiza menos trabajo a lo largo de la dirección que estamos considerando; y cada vez se trabaja más en otra dirección, perpendicular, del movimiento. Este proceso continúa hasta que estamos perpendiculares a nuestra dirección de movimiento original, de tal manera que el ángulo es 90, y el término coseno sería igual a cero; resultando en cero trabajo que se realiza a lo largo de nuestra dirección original. En cambio, ¡estamos trabajando en otra dirección!

    imagen

    Ángulo: Recordemos que tanto la fuerza como la dirección del movimiento son vectores. Cuando el ángulo es de 90 grados, el término coseno va a cero. Cuando van en la misma dirección, igualan a uno.

    Demostremos esto explícitamente y luego veamos este fenómeno en términos de una caja que se mueve a lo largo de las direcciones x e y.

    Hemos discutido que el trabajo es la integral de la fuerza y el producto punto respecto a x Pero de hecho, punto producto de fuerza y una distancia muy pequeña es igual a los dos términos por coseno del ángulo entre los dos. \(\mathrm{F \times dx = Fd \cos( \theta )}\). De manera explícita,

    \[\mathrm{\int_{t_2}^{t_1} F⋅dx= \int_{t_2}^{t_1} Fd \cos θ dx=Fd \cos θ}\]

    Una caja que está siendo empujada

    Consideremos un sistema de coordenadas tal que tengamos x como abscisa e y como ordenada. Más aún, considere que una caja se empuja a lo largo de la dirección x. ¿Qué sucede en los siguientes tres escenarios?

    • ¿La caja está siendo empujada paralela a la dirección x?
    • ¿La caja está siendo empujada en un ángulo de 45 grados con respecto a la dirección x?
    • ¿La caja está siendo empujada en un ángulo de 60 grados con respecto a la dirección x?
    • ¿La caja está siendo empujada en un ángulo de 90 grados con respecto a la dirección x?

    En el primer escenario, sabemos que toda la fuerza está actuando sobre la caja a lo largo de la dirección x, lo que significa que el trabajo solo se realizará a lo largo de la dirección x. Más aún, una perspectiva vertical la caja no se mueve — no cambia en la dirección y. Dado que la fuerza actúa paralela a la dirección del movimiento, el ángulo es igual a cero y nuestro trabajo total es simplemente la fuerza multiplicada por el desplazamiento en la dirección x.

    En el segundo escenario, la caja está siendo empujada en un ángulo de 45 grados con respecto a la dirección x; y así también un ángulo de 45 grados con respecto a la dirección y. Cuando se evalúa, el coseno de 45 grados es igual a\(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\), o aproximadamente 0.71. Esto significa que el 71% de la fuerza está contribuyendo al trabajo a lo largo de la dirección x. El otro 29% está actuando a lo largo de la dirección y.

    En el tercer escenario, sabemos que la fuerza está actuando en un ángulo de 60 grados con respecto a la dirección x; y así también un ángulo de 30 grados con respecto a la dirección y. Cuando se evalúa, el coseno de 60 grados es igual a 1/2. ¡Esto significa que la fuerza está actuando igualmente en la dirección x e y! El trabajo realizado es lineal con respecto tanto a x como a y.

    En el último escenario, la caja está siendo empujada en un ángulo perpendicular a la dirección x. En otras palabras, ¡estamos empujando la caja en la dirección y! Así, la posición de la caja no cambiará y no experimentará desplazamiento a lo largo del eje x. El trabajo realizado en la dirección x será cero.

    Puntos Clave

    • Comprender el trabajo es esencial para comprender los sistemas en términos de su energía, que es necesaria para la física de nivel superior.
    • El trabajo es equivalente al cambio en la energía cinética de un sistema.
    • La distancia no es lo mismo que el desplazamiento. Si se mueve una caja 3 metros hacia adelante y luego 4 metros a la izquierda, el desplazamiento total es de 5 metros, no de 7 metros.
    • El trabajo realizado en un objeto a lo largo de una determinada dirección de movimiento es igual a la fuerza multiplicada por el desplazamiento por el coseno del ángulo.
    • No se realiza ningún trabajo a lo largo de una dirección de movimiento si la fuerza es perpendicular.
    • Al considerar la fuerza paralela a la dirección del movimiento, omitimos el término coseno porque es igual a 1 que no cambia la expresión.

    Términos Clave

    • trabajo: Una medida de la energía gastada en mover un objeto; más comúnmente, fuerza veces desplazamiento. No se realiza ningún trabajo si el objeto no se mueve.
    • producto punto: Un producto escalar.

    LICENCIAS Y ATRIBUCIONES

    CONTENIDO CON LICENCIA CC, COMPARTIDO PREVIAMENTE

    CC CONTENIDO LICENCIADO, ATRIBUCIÓN ESPECÍFICA

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