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6.3: Trabajo realizado por una Fuerza Variable

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    Trabajo realizado por una fuerza variable

    La integración se utiliza para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable.

    objetivos de aprendizaje

    • Describir los enfoques utilizados para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable

    Uso de la Integración para Calcular el Trabajo Realizado por Fuerzas Variables

    Se dice que una fuerza hace trabajo cuando actúa sobre un cuerpo para que haya un desplazamiento del punto de aplicación en la dirección de la fuerza. Así, una fuerza sí funciona cuando resulta en movimiento.

    El trabajo realizado por una fuerza constante de magnitud F en un punto que mueve un desplazamiento\(\mathrm{Δx}\) en la dirección de la fuerza es simplemente el producto

    \[\mathrm{W=F⋅Δx}\]

    En el caso de una fuerza variable, es necesaria la integración para calcular el trabajo realizado. Por ejemplo, consideremos el trabajo realizado por un resorte. Según la ley del Hooke la fuerza restauradora (o fuerza elástica) de un resorte perfectamente elástico es proporcional a su extensión (o compresión), pero opuesta a la dirección de extensión (o compresión). Entonces, la fuerza del resorte que actúa sobre un objeto unido a un resorte horizontal viene dada por:

    \[\mathrm{Fs=−kx}\]

    que es proporcional a su desplazamiento (extensión o compresión) en la dirección x desde la posición de equilibrio del muelle, pero su dirección es opuesta a la dirección x. Para una fuerza variable, se deben agregar todas las contribuciones infinitesimalmente pequeñas al trabajo realizado durante intervalos de tiempo infinitesimalmente pequeños dt (o equivalentemente, en intervalos de longitud infinitamente pequeños dx=v x dt). Es decir, una integral debe ser evaluada:

    \[\mathrm{W_s=\int_0^tFs⋅vdt=\int_0^t−kxv_xdt=\int_{x_o}^x−kxdx=−\dfrac{1}{2}kΔx^2}\]

    Este es el trabajo realizado por un resorte que ejerce una fuerza variable sobre una masa que se mueve de la posición x o a x (del tiempo 0 al tiempo t). El trabajo realizado es positivo si la fuerza aplicada está en la misma dirección que la dirección del movimiento; por lo que el trabajo realizado por el objeto en resorte del tiempo 0 al tiempo t, es:

    \[\mathrm{W_a=\int_0^tFa⋅vdt=\int_0^t−F_s⋅vdt=\dfrac{1}{2}kΔx^2}\]

    en esta relación\(\mathrm{F_a}\) es la fuerza que actúa sobre la primavera por el objeto. \(\mathrm{F_a}\)y\(\mathrm{F_s}\) son de hecho pares de acción-reacción; y\(\mathrm{W_a}\) es igual a la energía potencial elástica almacenada en primavera.

    Uso de la Integración para Calcular el Trabajo Realizado por Fuerzas Constantes

    El mismo enfoque de integración también se puede aplicar al trabajo realizado por una fuerza constante. Esto sugiere que integrar el producto de la fuerza y la distancia es la forma general de determinar el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo en movimiento.

    Considerar la situación de un gas sellado en un pistón, cuyo estudio es importante en Termodinámica. En este caso, la Presión (Presión = Fuerza/Área) es constante y se puede sacar de la integral:

    \[\mathrm{W=\int_a^bPdV=P \int_a^bdV=PΔV}\]

    Otro ejemplo es el trabajo realizado por gravedad (una fuerza constante) sobre un objeto de caída libre (asignamos el eje y al movimiento vertical, en este caso):

    \[\mathrm{W=\int_{t_1}^{t_2} F⋅vdt=\int_{t_1}^{t_2} mgv_ydt=mg \int_{y_1}^{y_2} dy=mgΔy}\]

    Observe que el resultado es el mismo que hubiéramos obtenido simplemente evaluando el producto de la fuerza y la distancia.

    Unidades Usadas para el Trabajo

    La unidad de trabajo SI es el joule (J), que se define como el trabajo realizado por una fuerza de un newton moviendo un objeto a través de una distancia de un metro.

    Las unidades de trabajo que no son SI incluyen el erg, el pie-libra, el pie-libra, el kilovatio-hora, el litro-atmósfera y el caballero-hora.

    Puntos Clave

    • El trabajo realizado por una fuerza constante de magnitud F sobre un punto que mueve un desplazamiento d en la dirección de la fuerza es el producto:\(\mathrm{W = Fd}\).
    • El enfoque de integración se puede utilizar tanto para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable como el trabajo realizado por una fuerza constante.
    • La unidad de trabajo del SI es el joule; las unidades de trabajo no SI incluyen el erg, el pie-libra, el pie-libra, el kilovatio-hora, el litro-atmósfera y el caballo de fuerza-hora.

    Términos Clave

    • trabajo: Una medida de la energía gastada en mover un objeto; más comúnmente, fuerza veces desplazamiento. No se realiza ningún trabajo si el objeto no se mueve.
    • fuerza: Una cantidad física que denota la capacidad de empujar, tirar, torcer o acelerar un cuerpo, que se mide en una unidad dimensionada en masa × distancia/tiempo² (ML/T²): SI: newton (N); CGS: dinas (dinas)

    LICENCIAS Y ATRIBUCIONES

    CONTENIDO CON LICENCIA CC, COMPARTIDO PREVIAMENTE

    CC CONTENIDO LICENCIADO, ATRIBUCIÓN ESPECÍFICA

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