3A: Conservación de Energía Mecánica II: Muelles, Energía Cinética Rotacional

Nota

Un error común que involucra resortes es usar la longitud de un resorte estirado cuando se requiere la cantidad de estiramiento. Dada la longitud de un resorte estirado, hay que restar la longitud de ese mismo resorte cuando no se estira ni se comprime para obtener la cantidad de estiramiento.

La energía potencial de resorte es la energía potencial almacenada en un resorte que se comprime o estira. La energía del resorte depende de qué tan rígido esté el resorte y cuánto se estire o comprima. La rigidez del resorte se caracteriza por la constante de fuerza del resorte,\(k\). \(k\)también se conoce como la constante de resorte para el resorte. Cuanto más rígido es el resorte, mayor\(k\) es su valor de. El símbolo\(x\) se usa típicamente para caracterizar la cantidad en la que un resorte se comprime o estira. Es importante tener en cuenta que no\(x\) es la longitud del resorte estirado o comprimido. En cambio, es la diferencia entre la longitud del resorte estirado o comprimido y la longitud del resorte cuando no está estirado ni comprimido. La cantidad de energía U _S almacenada en un resorte con una constante de fuerza (constante de resorte)\(k\) que ha sido estirada en una cantidad\(x\) o comprimida en una cantidad\(x\) es:

\[U=\dfrac{1}{2}kx^2 \label{3-1}\]

La Energía Cinética Rotacional es la energía que tiene un objeto giratorio porque está girando. Cuando un objeto está girando, cada pedacito de materia que compone el objeto se mueve en círculo (excepto aquellos bits en el eje de rotación). Así, cada pedacito de materia que compone el objeto tiene alguna energía cinética\(\dfrac{1}{2}mV^2\) donde\(V\) está la velocidad del bit de materia en cuestión y\(m\) es su masa. El caso es que, en el caso de un objeto que apenas está girando, el objeto en sí no va a ninguna parte, por lo que no tiene velocidad, y los diferentes trozos de masa que componen el objeto tienen diferentes velocidades, por lo que no hay una velocidad\(V\) que podamos usar para la velocidad del objeto en nuestra antigua expresión para cinética energía\(K=\dfrac{1}{2}mV^2\). La cantidad de energía cinética que tiene un objeto porque está girando se puede expresar como:

\[K=\dfrac{1}{2}I\omega^2 \label{3-2}\]

donde se usa la letra griega omega\(\omega\) (por favor no la llames doble-u) para representar la magnitud de la velocidad angular del objeto y el símbolo\(I\) se usa para representar el momento de inercia, también conocido como inercia rotacional, del objeto. La magnitud de la velocidad angular del objeto es la rapidez con la que gira el objeto y el momento de inercia del objeto es una medida de la tendencia natural del objeto a girar a una velocidad constante. Cuanto mayor es el momento de inercia de un objeto, más difícil es cambiar qué tan rápido está girando ese objeto.

La magnitud de la velocidad angular, la velocidad de giro\(\omega\), se mide en unidades de radianes por segundo donde el radián es una unidad de ángulo. Un ángulo es una fracción de una rotación y por lo tanto una unidad de ángulo es una fracción de una rotación. Si dividimos una rotación en 360 partes entonces cada parte es\(\dfrac{1}{360}\) de una rotación y llamamos a cada parte un grado. En el caso de la medida de radianes, dividimos la rotación en\(2\pi\) partes y llamamos a cada parte un radián. Así, un radián es\(\dfrac{1}{2\pi}\) de rotación. El hecho de que un ángulo sea una fracción de una rotación significa que un ángulo es realmente un número puro y la palabra “radián” abreviado rad, es un recordatorio de cuántas partes se ha dividido la rotación en, en lugar de una unidad verdadera. Al elaborar las unidades en casos que involucran radianes, uno puede simplemente borrar la palabra radián. Este no es el caso de unidades reales como medidores o julios.

El momento de inercia\(I\) tiene unidades de\(kg⋅m^2\). Las unidades del lado derecho de la ecuación 3-2,\(K=\dfrac{1}{2}I\omega^2\), así funcionan para ser\(kg⋅m^2\dfrac{rad^2}{s^2}\). Aprovechando que un radián no es una unidad verdadera, podemos simplemente borrar las unidades\(rad^2\) dejándonos con unidades de\(kg⋅\dfrac{m^2}{s^2}\), combinación que reconocemos como un joule que debe ser ya que la cantidad del lado izquierdo de la ecuación\(K=\dfrac{1}{2}I\omega^2\) (ecuación 3-2) es una energía.

Energía de Rolling

Un objeto que está rodando se mueve a través del espacio y gira por lo que tiene ambos tipos de energía cinética, la\(\dfrac{1}{2}mV^2\) y la\(\dfrac{1}{2}I\omega^2\). El movimiento de un objeto a través del espacio se llama traducción. Para contrastarlo con la energía cinética rotacional, la energía cinética ordinaria\(K=\dfrac{1}{2}mV^2\) se conoce como energía cinética de traslación. Entonces, la energía cinética total de un objeto que está rodando se puede expresar como

\[K_{Rolling}=K_{translation}+ K_{rotation} \label{3-3}\]

\[K_{Rolling}=\dfrac{1}{2}mV^2 + \dfrac{1}{2}I\omega^2 \label{3-4}\]

Ahora probablemente reconozcas que un objeto que está rodando sin resbalar está girando a un ritmo que depende de lo rápido que esté avanzando. Es decir que el valor de\(\omega\) depende del valor de\(v\). Veamos cómo. Cuando un objeto que está rodando sin deslizarse completa una rotación, se mueve una distancia igual a su circunferencia que es\(2\pi\) por el radio de esa parte del objeto sobre la que el objeto está rodando.

\[\text{Distance traveled in one rotation}= 2\pi r \label{3-5} \]

Ahora bien, si dividimos ambos lados de esta ecuación por la cantidad de tiempo que tarda el objeto en completar una rotación obtenemos a la izquierda, la velocidad del objeto y, a la derecha, podemos interpretar el\(2\pi\) como\(2\pi\) radianes y, como\(2\pi\) radianes es una rotación los\(2\pi\) radianes dividido por el tiempo que tarda el objeto en completar una rotación es solo la magnitud de la velocidad angular\(\omega\). De ahí que lleguemos a

\[v=\omega r\]

que normalmente se escribe:

\[v=r\omega\label{3-6}\]