24A: Trabajo y Energía

Has hecho bastante resolución de problemas usando conceptos energéticos. De vuelta en el capítulo 2 definimos la energía como una cantidad física transferible que se puede decir que tiene un objeto y dijimos que si se transfiere energía a una partícula material que inicialmente está en reposo, esa partícula adquiere una velocidad que es un indicador de cuánta energía se transfirió. Dijimos que un objeto puede tener energía porque se está moviendo (energía cinética), o por su posición relativa a algún otro objeto (energía potencial). Dijimos que la energía tiene unidades de julios. Se ha ocupado de la energía cinética traslacional\(K=\frac{1}{2}mv^2\), rotational kinetic energy \(K=\frac{1}{2}I \omega^2\), spring potential energy \(U=\frac{1}{2}kx^2\), near-earth’s-surface gravitational potential energy \(U=mgy\), and the universal gravitational potential energy \(U=-\frac{Gm_1m_2}{r}\) corresponding to the Universal Law of Gravitation. The principle of the conservation of energy is, in the opinion of this author, the central most important concept in physics. Indeed, at least one dictionary defines physics as the study of energy. It is important because it is conserved and the principle of conservation of energy allows us to use simple accounting procedures to make predictions about the outcomes of physical processes that have yet to occur and to understand processes that have already occurred. According to the principle of conservation of energy, any change in the total amount of energy of a system can be accounted for in terms of energy transferred from the immediate surroundings to the system or to the immediate surroundings from the system. Physicists recognize two categories of energy transfer processes. One is called work and the other is called heat flow. In this chapter we focus our attention on work.

Conceptualmente, el trabajo positivo es lo que estás haciendo sobre un objeto cuando lo empujas o tiras en la misma dirección en la que se mueve el objeto. Se realiza un trabajo negativo sobre un objeto cuando lo empuja o tira de él en la dirección opuesta a la dirección en la que va el objeto. El mnemotécnico para recordar la definición de trabajo que te ayuda a recordar cómo calcularlo es “El trabajo es Fuerza tiempos Distancia”. El mnemotécnico no cuenta toda la historia. Es bueno para el caso de una fuerza constante que actúa sobre un objeto que se mueve en una trayectoria en línea recta cuando la fuerza está en la misma dirección exacta que la dirección del movimiento.

Una definición de trabajo más general, pero aún no completamente general, de “cómo-calcularlo” se aplica al caso de una fuerza constante que actúa sobre un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta (cuando la fuerza no se dirige necesariamente a lo largo del camino). En tal caso, el trabajo\(W\) realizado sobre el objeto, cuando recorre una cierta distancia a lo largo de la trayectoria, es: el componente a lo largo de la trayectoria de la fuerza\(F_{\parallel}\) multiplicado por la longitud del segmento de trayectoria\(\triangle r\).

\[W=F_{\parallel}\triangle r \label{24-1}\]

Incluso este caso aún necesita alguna aclaración adicional: Si el vector de componente de fuerza a lo largo de la trayectoria está en la misma dirección que el vector de desplazamiento del objeto, entonces\(F_{\parallel}\) es positivo, entonces el trabajo es positivo; pero si el vector de componente de fuerza a lo largo de la trayectoria está en la dirección opuesta a la del vector de desplazamiento del objeto, entonces\(F_{\parallel}\) es negativo, por lo que el trabajo es negativo. Así, si estás empujando o tirando de un objeto en una dirección que tendería a hacer que se acelere, estás haciendo un trabajo positivo en el objeto. Pero si estás empujando o tirando de un objeto en una dirección que tendería a ralentizarlo, estás haciendo un trabajo negativo en el objeto.

En el caso más general en el que el “componente de la fuerza a lo largo del camino” cambia continuamente porque la fuerza cambia continuamente (como en el caso de un objeto al final de un resorte) o porque el camino no es recto, nuestra definición de “cómo-calcularlo” de la obra se convierte en: Para cada segmento de trayectoria infinitesimal que constituye el camino en cuestión, tomamos el producto de la componente de fuerza a lo largo del camino y la longitud infinitesimal del segmento de trayectoria. El trabajo es la suma de todos esos productos. Tal suma tendría un número infinito de términos. Nos referimos a tal suma como una integral.

La relación entre el trabajo y el movimiento

Volvamos al caso más simple, el caso en el que una fuerza\(\vec{F}\) es la única fuerza que actúa sobre una partícula de masa\(m\) que se mueve una distancia\(\triangle r\) (mientras la fuerza actúa sobre ella) en línea recta en la misma dirección exacta que la fuerza. El plan aquí es investigar la conexión entre el trabajo sobre la partícula y el movimiento de la partícula. Empezaremos con la ^2ª Ley de Newton.

Diagrama de cuerpo libre

\[a_{\rightarrow}=\frac{1}{m} F_{\rightarrow} \]

\[a=\frac{1}{m} F \]

Resolviendo para\(F\), llegamos a:

\[F=ma \]

A la izquierda, tenemos la magnitud de la fuerza. Si multiplicamos eso por la distancia\(\triangle r\), obtenemos el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula a medida que mueve la distancia\(\triangle r\) a lo largo del camino, en la misma dirección que la fuerza. Si multiplicamos por\(\triangle r\) entonces el lado izquierdo de la ecuación tenemos que multiplicar el derecho por lo mismo para mantener la igualdad.

\[F\triangle r=ma \triangle r \]

A la izquierda tenemos la obra\(W\), así:

\[W=ma \triangle r \]

A la derecha tenemos dos cantidades utilizadas para caracterizar el movimiento de una partícula por lo que ciertamente hemos cumplido con nuestro objetivo de relacionar el trabajo con el movimiento, pero podemos desenredar un poco las cosas a la derecha si reconocemos que, como tenemos una fuerza constante, debemos tener una aceleración constante. Esto significa que las ecuaciones de aceleración constante aplican, en particular, la que (en términos de más\(r\) bien que\(x\)) dice:

\[v^2=v_0^2+2a\triangle r \]

Resolviendo esto para\(a\triangle r\) da

\[a\triangle r=\frac{1}{2}v^2-\frac{1}{2} v_{\circ}^2 \]

Sustituyendo esto en nuestra expresión por\(W\) arriba (la que lee\(W=ma \triangle r\)) obtenemos

\[W=m(\frac{1}{2}v^2-\frac{1}{2}v_{\circ}^2) \]

que se puede escribir como

\[ W=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_{\circ}^2 \]

Por supuesto, reconocemos el\(\frac{1}{2}mv_0^2\) como la energía cinética de la partícula antes de que se realice el trabajo sobre la partícula y el\(\frac{1}{2} mv^2\) como la energía cinética de la partícula después de que se haga el trabajo sobre ella. Para ser consistentes con la notación que usamos en nuestra discusión temprana sobre la conservación de la energía mecánica, cambiamos a la notación en la que el símbolo primo (′) significa “después” y ningún súper o subíndice en absoluto (en lugar del subíndice “o”) representa “antes”. Usando esta notación y la definición de energía cinética, nuestra expresión para\(W\) se convierte en:

\[W=K'-K \]

Dado que la energía cinética del “después” menos la energía cinética del “antes” es solo el cambio en la energía cinética\(\delta K\), podemos escribir la expresión para\(W\) como:

\[ W=\delta K \label{24-2} \]

Esta es, efectivamente, una relación simple entre trabajo y movimiento. La causa, el trabajo sobre una partícula, a la izquierda, es exactamente igual al efecto, un cambio en la energía cinética de la partícula. Este resultado es tan importante que le damos nombre, es la Relación Trabajo-Energía. También va por el nombre: El principio trabajo-energía. También funciona para cuerpos rígidos extendidos. En el caso de un cuerpo rígido que gira, es el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza, a lo largo de la trayectoria de dicho punto de aplicación, que se utiliza (como el\(\delta r\)) en el cálculo del trabajo realizado sobre el objeto. En la expresión\(W=\delta K\), el trabajo es el trabajo neto (el trabajo total) realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula o el cuerpo rígido. El trabajo neto se puede calcular encontrando el trabajo realizado por cada fuerza y sumando los resultados, o encontrando la fuerza neta y utilizándola en la definición del trabajo.

Calcular la Obra como la Fuerza a lo Largo del Camino Veces la Longitud de la Trayectoria

Considera un bloque sobre una inclinación plana sin fricción que forme un ángulo\(\theta\) con la vertical. El bloque viaja desde un punto\(A\) cerca de la parte superior de la inclinación hasta un punto\(B\), una distancia d en la dirección descendente de la inclinación desde\(A\). Encuentra el trabajo realizado, por la fuerza gravitacional, en el bloque.

Hemos dibujado un boceto de la situación (no un diagrama de cuerpo libre). Observamos que la fuerza para la que se supone que debemos calcular la obra no está en el camino. Entonces, definimos un sistema de coordenadas con un eje en la dirección descendente de la pendiente y el otro perpendicular a ese eje

y romper el vector de fuerza gravitacional en sus componentes con respecto a ese sistema de coordenadas.

\[ F_{g\parallel}=F_g \cos \theta=mg \cos \theta\]

\[ \Big |F_{g\perp}|=F_g \sin \theta=mg \sin \theta\]

Ahora redibujamos el boceto con la fuerza gravitacional reemplazada por sus componentes:

\(F_{g\perp}\), siendo perpendicular al camino no funciona en el bloque ya que el bloque se mueve de A a B. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional viene dado por

\[ W=F_{\parallel}d\]

\[ W=F_{g\parallel}d\]

\[W=mg(\cos\theta)d\]

\[W=mgd \cos\theta\]

Si bien este método para calcular el trabajo realizado por una fuerza es perfectamente válido, existe una manera más fácil. Implica otro operador de producto para vectores (además del producto cruzado), llamado producto punto. Para usarlo, necesitamos reconocer que la longitud de la trayectoria, combinada con la dirección del movimiento, no es otra que el vector de desplazamiento (para el punto de aplicación de la fuerza). Entonces solo necesitamos encontrar el producto de punto del vector de fuerza y el vector de desplazamiento.