31A: Cuerdas, Columnas de Aire

Tenga cuidado de no sacar conclusiones sobre la longitud de onda de una onda estacionaria. La gente hará un buen trabajo dibujando una gráfica de Desplazamiento vs. Posición A lo largo del Medio y luego interpretarla incorrectamente. Por ejemplo, mira el diagrama de esta página. La gente ve que media longitud de onda encaja en el segmento de cadena y rápidamente escribe la longitud de onda como\(\lambda =\frac{1}{2} L\). Pero esta ecuación dice que toda una longitud de onda cabe en la mitad de la longitud de la cadena. Esto no es para nada el caso. En lugar de reconocer que la fracción\(\frac{1}{2}\) es relevante y usar rápidamente esa fracción en una expresión para la longitud de onda, uno necesita ser más sistemático. Primero escribe lo que ves, en forma de ecuación, y luego resuelve esa ecuación para la longitud de onda. Por ejemplo, en el diagrama de abajo vemos que media longitud de onda\(\lambda\) encaja en la longitud\(L\) de la cadena. Escribir esto en forma de ecuación rinde\(\frac{1}{2} \lambda=L\). Resolviendo esto para\(\lambda\) rendimientos\(\lambda= 2L\).

Se pueden determinar las longitudes de onda de las ondas estacionarias de manera directa y obtener las frecuencias de

\[v\space =\lambda f\]

donde la velocidad de onda\(v\) está determinada por la tensión y densidad de masa lineal de la cuerda. El método depende de las condiciones de límite, las condiciones en los extremos del medio de onda. (El medio de onda es la sustancia [cuerda, aire, agua, etc.] a través de la cual viaja la ola. El medio de onda es lo que está “ondeando”). Considera el caso de las ondas en una cuerda. Un extremo fijo obliga a que haya un nodo en ese extremo porque el final de la cadena no se puede mover. (Un nodo es un punto en la cadena en el que la interferencia siempre es destructiva, lo que no produce oscilaciones. Un antinodo es un punto en el que la interferencia es siempre constructiva, dando como resultado oscilaciones máximas). Un extremo libre obliga a que haya un antinodo en ese extremo porque en un extremo libre la onda se refleja de nuevo sobre sí misma sin inversión de fase (una cresta se refleja como cresta y un canal se refleja como un canal) por lo que en un extremo libre se tiene una y la misma parte de la ola viajando en ambas direcciones a lo largo de la cuerda. La condición de longitud de onda para las ondas estacionarias es que la onda debe “encajar” en el segmento de cuerda de manera consistente con las condiciones de contorno. Para una cadena de longitud\(L\) fija en ambos extremos, podemos cumplir con las condiciones de contorno si media longitud de onda es igual a la longitud de la cadena.

Tal onda “encaja” en la cuerda en el sentido de que cada vez que una parte de desplazamiento cero de la onda se alinea con un extremo fijo de la cuerda, otra parte de desplazamiento cero de la onda se alinea con el otro extremo fijo de la cuerda.

Como media longitud de onda encaja en el segmento de cadena tenemos:

\[\frac{1}{2}\lambda=L\]

\[\lambda=2L\]

Dada la velocidad de onda\(v\), la frecuencia se puede resolver de la siguiente manera:

\[v=\lambda f\]

\[f=\frac{v}{\lambda}\]

\[f=\frac{v}{2L}\]

Cabe señalar que a pesar de que la onda se llama onda estacionaria y el hecho de que normalmente se representa en un instante en el tiempo cuando un antinodo en la cuerda se encuentra en su desplazamiento máximo desde su posición de equilibrio, todas las partes de la cuerda (excepto los nodos) sí oscilan alrededor de su posición de equilibrio.

Obsérvese que, si bien la interferencia en el antinodo, el punto en el medio de la cuerda en la caja que nos ocupa, es siempre lo más constructiva posible, eso no quiere decir que la cuerda en ese punto esté siempre en el máximo desplazamiento. A veces, en esa ubicación, efectivamente hay una cresta interfiriendo con una cresta, pero en otras ocasiones, hay una parte de desplazamiento cero de la onda interfiriendo con una parte de desplazamiento cero de la ola, a veces un canal interfiriendo con un canal, y a veces, una parte de desplazamiento intermedio de la ola interfiriendo con la misma parte de desplazamiento intermedio de la ola que viaja en la dirección opuesta. Todo esto corresponde al antinodo oscilando alrededor de su posición de equilibrio.

La\(\lambda = 2L\) ola no es la única ola que cabrá en la cuerda. Es, sin embargo, la onda estacionaria de longitud de onda más larga posible y por lo tanto es referida como la fundamental. Hay toda una secuencia de ondas estacionarias. Se les nombra: el fundamental, el primer armónico, el segundo armónico, el tercer armónico, etc, en orden de longitud de onda decreciente, y por ende, aumentando la frecuencia.

Cada forma de onda sucesiva se puede obtener a partir de la anterior incluyendo un nodo más.

Se dice que una onda en la serie es un armónico si su frecuencia puede expresarse como un entero multiplicado por la frecuencia fundamental. El valor del entero determina qué armónico (1 ^st, 2 ^nd, 3 ^rd, etc.) es la onda. La frecuencia de la onda fundamental es, por supuesto, 1 veces en sí misma. El número 1 es un entero por lo que el fundamental es un armónico. Es el ^1er armónico.

Comenzando con las longitudes de onda en la serie de diagramas anteriores, tenemos, para las frecuencias, usando las\(v =\lambda f\) cuales se pueden reordenar para leer

\[f=\frac{v}{\lambda}\]

El Fundamental

\[\lambda_{\tiny\mbox{FUND}}=2L\]

\[f_{\tiny\mbox{FUND}}=\frac{v}{\lambda_{\tiny\mbox{FUND}}}\]

\[f_{\tiny\mbox{FUND}}=\frac{v}{2L}\]

El 1 ^er Sobretono

\[\lambda_{\tiny \mbox{1st O.T.}}=L\]

\[f_{\tiny \mbox{1st O.T.}}=\frac{v}{\lambda_{\tiny \mbox{1st O.T.}}}\]

\[f_{\tiny \mbox{1st O.T.}}=\frac{v}{L}\]

El ^segundo armónico

\[\lambda_{\tiny \mbox{2nd O.T.}}=\frac{2}{3}L\]

\[f_{\tiny \mbox{2nd O.T.}}=\frac{v}{\lambda_{\tiny \mbox{2nd O.T.}}}\]

\[f_{\tiny \mbox{2nd O.T.}}=\frac{v}{\frac{2}{3}L}\]

\[f_{\tiny \mbox{2nd O.T.}}=\frac{3}{2} \, \frac{v}{L}\]

Expresando las frecuencias en términos de la frecuencia fundamental\(f_{\tiny \mbox{FUND}}=\frac{v}{2L}\) que tenemos

\[ f_{\tiny \mbox{FUND}} = \frac{v}{2L} =1\Big ( \frac{v}{2L}\Big ) = 1 f_{\tiny \mbox{FUND}}\]

\[f_{\tiny \mbox{1st O.T.}}=\frac{v}{L} = 2 \Big ( \frac{v}{2L} \Big) = 2 f_{\tiny \mbox{FUND}}\]

\[f_{\tiny \mbox{2nd O.T.}}=\frac{3}{2} \frac{v}{L} = 3 \Big ( \frac{v}{2L} \Big) = 3 f_{\tiny \mbox{FUND}}\]

^{Obsérvese que lo fundamental es (como siempre) el armónico 1 st; el armónico 1 st es el 2° armónico; y el 2º armónico es el armónico 3°.} Si bien es cierto para el caso de una cadena que se fija en ambos extremos (el sistema que hemos estado analizando), no siempre es cierto que el conjunto de todos los armónicos más fundamental incluya todos los armónicos. Por ejemplo, considere el siguiente ejemplo:

Un tubo de órgano de longitud\(L\) se cierra en un extremo y se abre en el otro. Dado que la velocidad del sonido en el aire es vs, encuentra las frecuencias de lo fundamental y los tres primeros armónicos.

Solución

\[\frac{1}{4} \lambda=L \quad \mbox{so} \quad \lambda=4L\]

\[\frac{3}{4} \lambda=L \quad \mbox{so} \quad \lambda=\frac{4}{3} L\]

\[\frac{5}{4} \lambda=L \quad \mbox{so} \quad \lambda=\frac{4}{5} L\]

\[\frac{7}{4} \lambda=L \quad \mbox{so} \quad \lambda=\frac{4}{7} L\]

En la secuencia anterior de diagramas, una gráfica de desplazamiento vs. posición a lo largo de la tubería, por un instante en el tiempo cuando las moléculas de aire en un antinodo están en su máximo desplazamiento desde el equilibrio, es una representación más abstracta que la gráfica correspondiente para una cadena. La onda sonora en el aire es una onda longitudinal, por lo que, a medida que las ondas sonoras viajan de un lado a otro a lo largo de la tubería, las moléculas de aire oscilan de un lado a otro (en lugar de subir y bajar como en el caso de la cuerda) alrededor de sus posiciones de equilibrio. Así, qué tan alto en la gráfica está un punto en la gráfica, corresponde a qué tan lejos a la derecha (utilizando el punto de vista desde el que se representa la tubería en los diagramas) de su posición de equilibrio se encuentra la capa delgada de moléculas de aire, en la posición correspondiente en la tubería. Es convencional dibujar la forma de onda justo dentro del contorno de la tubería. Las condiciones límite son que un extremo cerrado es un nodo y un extremo abierto es un antinodo.

Comenzando con las longitudes de onda en la serie de diagramas anteriores, tenemos, para las frecuencias, usando las\(v_s = \lambda f\) cuales se pueden reordenar para leer

\[f=\frac{v_s}{\lambda}\]

El Fundamental

\[\lambda_{\tiny \mbox{FUND}}=4L\]

\[f_{\tiny \mbox{FUND}}=\frac{v_s}{\lambda_{\tiny \mbox{FUND}}}\]

\[f_{\tiny \mbox{FUND}}=\frac{v_s}{4L}\]

El 1 ^er Sobretono

\[\lambda_{\tiny\mbox{1st O.T.}}=\frac{4}{3} L\]

\[f_{\tiny\mbox{1st O.T.}}=\frac{v_s}{\lambda_{\tiny \mbox{1st O.T.}}}\]

\[f_{\tiny\mbox{1st O.T.}}=\frac{v_s}{\frac{4}{3} L}\]

\[f_{\tiny\mbox{1st O.T.}}=\frac{3}{4} \frac{v_s}{L}\]

El ^segundo armónico

\[\lambda_{\tiny\mbox{2nd O.T.}}=\frac{4}{5} L\]

\[f_{\tiny\mbox{2nd O.T.}}=\frac{v_s}{\lambda_{\tiny \mbox{2nd O.T.}}}\]

\[f_{\tiny\mbox{2nd O.T.}}=\frac{v_s}{\frac{4}{5} L}\]

\[f_{\tiny\mbox{2nd O.T.}}=\frac{5}{4} \frac{v_s}{L}\]

El ^3er Sobretono

\[\lambda_{\tiny\mbox{3rd O.T.}}=\frac{4}{7} L\]

\[f_{\tiny\mbox{3rd O.T.}}=\frac{v_s}{\lambda_{\tiny \mbox{3rd O.T.}}}\]

\[f_{\tiny\mbox{3rd O.T.}}=\frac{v_s}{\frac{4}{7} L}\]

\[f_{\tiny\mbox{3rd O.T.}}=\frac{7}{4} \frac{v_s}{L}\]

Expresando las frecuencias en términos de la frecuencia fundamental\(f_{\tiny\mbox{FUND}}=\frac{v_s}{4L}\) que tenemos

\[f_{\tiny\mbox{FUND}}=\frac{v_s}{4L}=1\Big( \frac{v_s}{4L} \Big)=1f_{\tiny\mbox{FUND}}\]

\[f_{\tiny\mbox{1st O.T.}}=\frac{3}{4} \frac{v_s}{4L}=3\Big( \frac{v_s}{4L} \Big)=3f_{\tiny\mbox{FUND}}\]

\[f_{\tiny\mbox{2nd O.T.}}=\frac{5}{4} \frac{v_s}{4L}=5\Big( \frac{v_s}{4L} \Big)=5f_{\tiny\mbox{FUND}}\]

\[f_{\tiny\mbox{3rd O.T.}}=\frac{7}{4} \frac{v_s}{4L}=7\Big( \frac{v_s}{4L} \Big)=7f_{\tiny\mbox{FUND}}\]

Tenga en cuenta que las frecuencias de las ondas estacionarias son múltiplos enteros impares de la frecuencia fundamental. Es decir que sólo se producen armónicos impares, el 1 ^st, 3 ^rd, 5 ^th, etc. en el caso de una tubería cerrada en un extremo y abierta en el otro.

En cuanto a las Ondas, en un Medio que está en Contacto con un Medio ^2º

Considera una cuerda de violín oscilando a su frecuencia fundamental, en el aire. Para mayor comodidad de discusión, supongamos que el violín esté orientado de manera que las oscilaciones sean hacia arriba y hacia abajo.

Cada vez que la cuerda sube empuja las moléculas de aire hacia arriba. Esto da como resultado ondas sonoras en el aire. El violín con la onda estacionaria en él puede considerarse como el “algo oscilante” que es la causa de las olas en el aire. Recordemos que la frecuencia de las ondas es idéntica a la frecuencia de la fuente. Así, la frecuencia de las ondas sonoras en el aire será idéntica a la frecuencia de las ondas en la cuerda. En general, la velocidad de las olas en el aire es diferente de la velocidad de las olas en la cuerda. De\(v = \lambda f\), esto significa que las longitudes de onda también serán diferentes.