32A: Beats y el Efecto Doppler

Beats

Considera dos fuentes de sonido, cercanas entre sí, cada una produciendo ondas sonoras a su propia frecuencia única. Cualquier punto en la región llena de aire del espacio alrededor de las fuentes recibirá ondas sonoras de ambas fuentes. La amplitud del sonido en cualquier posición en el espacio será la amplitud de la suma de los desplazamientos de las dos ondas en ese punto. Esta amplitud variará porque la interferencia alternará entre interferencia constructiva e interferencia destructiva. Supongamos que las dos frecuencias no difieren mucho. Considera los desplazamientos en un punto particular del espacio. Empecemos en un instante en el que dos crestas de ondas sonoras están llegando a ese punto, una de cada fuente. En ese instante las ondas están interfiriendo constructivamente, resultando en una gran amplitud total. Si tu oído estuviera en ese lugar, encontrarías el sonido relativamente alto. Marquemos el paso del tiempo por medio del periodo más corto, el periodo de las ondas de mayor frecuencia. Un periodo después del instante que acabamos de discutir, la siguiente cresta (llamarla la segunda cresta) de la fuente de mayor frecuencia está en el punto en cuestión, pero el pico de la siguiente cresta de la fuente de menor frecuencia aún no está ahí. En lugar de una cresta que interfiere con una cresta, tenemos una cresta que interfiere con una parte de desplazamiento intermedio de la ola. La injerencia sigue siendo constructiva pero no en la medida en que lo fue. Cuando llega la tercera cresta de la fuente de frecuencia más alta, la cresta correspondiente de la fuente de frecuencia más baja está aún más atrás. Finalmente, una cresta de la fuente de frecuencia más alta está llegando al punto en cuestión al mismo tiempo que un canal de la fuente de menor frecuencia. En ese instante en el tiempo, la interferencia es tan destructiva como se pone. Si tu oído estuviera en el punto en cuestión, encontrarías que el sonido es inaudible o de muy bajo volumen. Entonces el canal de la fuente de baja frecuencia comienza a “quedarse atrás” hasta que, finalmente, una cresta de la fuente de frecuencia más alta está interfiriendo con la cresta que precede a la cresta correspondiente de la fuente de menor frecuencia y la interferencia vuelve a ser lo más constructiva posible.

A una persona cuyo oído se encuentra en un lugar en el que existen ondas de ambas fuentes, el sonido se vuelve fuerte, suave, fuerte, suave, etc. La frecuencia con la que se repite el patrón de sonoridad se llama frecuencia de latido. Experimentalmente, podemos determinar la frecuencia de latido cronometrando cuánto tiempo tarda el sonido en hacerse fuerte N veces y luego dividiendo ese tiempo por N (donde N es un entero arbitrario elegido por el experimentador, cuanto más grande sea el N, más preciso es el resultado). Esto le da el periodo beat. Tomando el recíproco del periodo de latido produce la frecuencia de latido.

La frecuencia de latido se va a contrastar con la frecuencia ordinaria de las ondas. En el sonido, escuchamos la frecuencia de latido como la velocidad a la que varía la sonoridad del sonido mientras que escuchamos la frecuencia ordinaria de las ondas como el tono del sonido.

Derivación de la Fórmula de Frecuencia de Beat

Considera el sonido de dos fuentes diferentes que inciden en un punto, llámelo punto\(P\), en el espacio airoccupied. Supongamos que una fuente tiene un periodo más corto\(T_{\tiny \mbox{SHORT}}\) y por lo tanto una frecuencia\(f_{\tiny \mbox{HIGH}}\) mayor que la otra (que tiene periodo y frecuencia\(T_{\tiny \mbox{LONG}}\) y\(f_{\tiny \mbox{LOW}}\) respectivamente). El plan aquí es expresar la frecuencia de latidos en términos de las frecuencias de las fuentes —llegamos ahí relacionando los periodos entre sí. Al igual que en nuestra discusión conceptual, comencemos en un instante en que una cresta de cada fuente está en punto\(P\). Cuando, después de que\(T_{\tiny \mbox{SHORT}}\) pase una cantidad de tiempo, llega la siguiente cresta de la fuente de período más corto, la cresta correspondiente de la fuente de período más largo no llegará por una cantidad de tiempo\(\Delta T = T_{\tiny \mbox{LONG}} - T_{\tiny \mbox{SHORT}}\). De hecho, con la llegada de cada cresta sucesiva de período corto, la cresta correspondiente de período largo es otra\(\Delta T\) detrás. Eventualmente, después de algún número n de periodos cortos, la cresta de período largo llegará un periodo largo completo\(T_{\tiny \mbox{LONG}}\) después de que llegue la cresta correspondiente de período corto.

\[n\Delta T=T_{\tiny \mbox{LONG}} \label{32-1}\]

Esto significa que a medida que llega la cresta de período corto, está llegando la cresta de período largo que precede a la correspondiente cresta de período largo. Esto da como resultado una interferencia constructiva (sonido fuerte). El tiempo que lleva, comenzando cuando la interferencia es máximamente constructiva, para que la interferencia vuelva a ser máximamente constructiva es el periodo beat

\[T_{\tiny \mbox{BEAT}}=nT_{\tiny \mbox{SHORT}} \label{32-2}\]

Usemos Ecuación\(\ref{32-1}\) para eliminar el\(n\) en esta expresión. Resolviendo Ecuación\(\ref{32-1}\) para\(n\) encontramos que

\[n=\dfrac{T_{\tiny \mbox{LONG}}}{\Delta T}\]

Sustituyendo esto en\(\ref{32-2}\) rendimientos de ecuaciones

\[T_{\tiny \mbox {BEAT}}=\dfrac{T_{\tiny \mbox {LONG}}}{\Delta T}T_{\tiny \mbox {SHORT}}\]

\(\Delta T\)es\(T_{\tiny \mbox {LONG}}-T_{\tiny \mbox {SHORT}}\) tan

\[T_{\tiny \mbox {BEAT}}=\dfrac{T_{\tiny \mbox {LONG}}}{T_{\tiny \mbox {LONG}}-T_{\tiny \mbox {SHORT}}}T_{\tiny \mbox {SHORT}}\]

\[T_{\tiny \mbox {BEAT}}=\dfrac{T_{\tiny \mbox {LONG}} T_{\tiny \mbox {SHORT}}}{T_{\tiny \mbox {LONG}}-T_{\tiny \mbox {SHORT}}}\]

Dividiendo la parte superior e inferior por los\(T_{\tiny \mbox {LONG}} T_{\tiny \mbox {SHORT}}\) rendimientos del producto

\[ T_{\tiny \mbox {BEAT}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{T_{\tiny\mbox{SHORT}}}-\dfrac{1}{T_{\tiny\mbox{LONG}}}}\]

Tomando el recíproco de ambos lados resulta en

\[\dfrac{1}{T_{\tiny\mbox{BEAT}}}=\dfrac{1}{T_{\tiny\mbox{SHORT}}}-\dfrac{1}{T_{\tiny\mbox{LONG}}}\]

Ahora usamos la relación frecuencia-período\(F=\dfrac{1}{T}\) para reemplazar cada período recíproco con su frecuencia correspondiente. Esto produce:

\[f_{\tiny\mbox{BEAT}}=f_{\tiny\mbox{HIGH}}-f_{\tiny\mbox{LOW}} \label{32-3}\]

para la frecuencia de latido en términos de las frecuencias de las dos fuentes.

El efecto Doppler

Considera una fuente de sonido de frecuencia única y un receptor. La fuente es algo oscilante. Produce ondas sonoras. Viajan por el aire, a speedv, la velocidad del sonido en el aire, hasta el receptor y hacen que alguna parte del receptor oscile. (Por ejemplo, si el receptor es tu oído, las ondas sonoras hacen que tu tímpano oscile). Si el receptor y la fuente están en reposo con relación al aire, entonces la frecuencia recibida es la misma que la frecuencia de la fuente.

Pero si la fuente se está acercando o alejando del receptor, y/o el receptor se está acercando o alejando de la fuente, la frecuencia recibida será diferente de la frecuencia de la fuente. Supongamos, por ejemplo, que el receptor se está moviendo hacia la fuente con velocidad\(V_R\).

El receptor se encuentra con las crestas de onda con más frecuencia de lo que lo haría si todavía lo fuera. Comenzando en un instante cuando un frente de onda está en el receptor, el receptor y el siguiente frente de onda se están uniendo a la velocidad\(V+V_R\) (donde\(V\) está la velocidad del sonido en el aire). La distancia entre los frentes de onda es solo la longitud de onda\(\lambda\) que está relacionada con la frecuencia de origen,\(f\)\(v = \lambda f\) significando eso\(\lambda=\dfrac{V}{f}\). Del hecho de que, en el caso de la velocidad constante, la distancia es solo velocidad por tiempo, tenemos:

\[\lambda=(V+V_R) T'\]

\[T'=\dfrac{\lambda}{V+V_R}\label{32-4}\]

para el periodo de las oscilaciones recibidas. El uso\(T'=\dfrac{1}{f'}\) y\(\lambda=\dfrac{V}{f}\) la ecuación se\(\ref{32-4}\) pueden escribir como:

\[\dfrac{1}{f'}=\dfrac{V/f}{V+V_{R}}\]

\[\dfrac{1}{f'}=\dfrac{V}{V+V_{R}}\dfrac{1}{f}\]

\[f'=\dfrac{V+V_{R}}{V}f \quad \mbox{(Receiver Approaching Source)}\]

Esta ecuación establece que la frecuencia recibida\(f'\) es un factor multiplicado por la frecuencia de origen. La expresión\(V+V_{R}\) es la velocidad a la que la onda sonora en el aire y el receptor se acercan entre sí. Si el receptor se aleja de la fuente a velocidad\(V_{R}\), la velocidad a la que las ondas sonoras están “poniéndose al día” con el receptor\(V-V_{R}\) y nuestra expresión para la frecuencia recibida se convierte en

\[f'=\dfrac{V-V_{R}}{V}f \quad \mbox{(Receiver Receding from Source)}\]

Consideremos ahora el caso en el que la fuente se está moviendo hacia el receptor.

La fuente produce una cresta que se mueve hacia el receptor a la velocidad del sonido. Pero la fuente se mueve detrás de esa cresta por lo que la siguiente cresta que produce está más cerca de la primera cresta de lo que estaría si la fuente estuviera en reposo. Esto también es cierto para todas las crestas posteriores. Todos están más cerca de lo que estarían si la fuente estuviera en reposo. Esto significa que la longitud de onda de las ondas sonoras que viajan en la dirección de la fuente se reduce con respecto a lo que sería la longitud de onda si la fuente estuviera en reposo.

La distancia\(d\) que recorre la fuente hacia el receptor en el tiempo desde la emisión de una cresta hasta la emisión de la siguiente cresta, es decir, en el período\(T\) de las oscilaciones de la fuente, es

\[d=v_sT\]

donde\(v_s\) esta la velocidad de la fuente. La longitud de onda es lo que sería la longitud de onda\((\lambda)\) si la fuente estuviera en reposo, menos la distancia\(d=v_sT\) que recorre la fuente en un periodo

\[\lambda'=\lambda-d \]

\[\lambda'=\lambda-v_sT \label{32-5}\]

Ahora usaremos\(v=\lambda f\) resuelto para\(\lambda=\dfrac{v}{f}\) para eliminar las longitudes de onda y\(f=\dfrac{1}{T}\) resuelto para el periodo\(T=\dfrac{1}{f}\) para eliminar el periodo. Con estas sustituciones, la ecuación\(\ref{32-5}\) se convierte en

\[\dfrac{v}{f'}=\dfrac{v}{f}-v_s\dfrac{1}{f}\]

\[\dfrac{v}{f'}=\dfrac{1}{f}(v-v_s)\]

\[\dfrac{f'}{v}=f\dfrac{1}{v-v_s}\]

\[f'=\dfrac{v}{v-v_s}f \quad \mbox{Source Approaching Receiver}\]

Si la fuente se aleja del receptor, el letrero frente a la velocidad de la fuente se invierte, lo que significa que

\[f'=\dfrac{v}{v+v_s}f \quad \mbox{Source Receding from Receiver}\]

Las cuatro expresiones para la frecuencia recibida en función de la frecuencia de origen se combinan en su hoja de fórmulas donde se escriben como:

\[f'=\dfrac{v\pm v_R}{v\mp v_s}f \label{32-6}\]

Al resolver un problema de Efecto Doppler, en lugar de copiar esta expresión directamente de su hoja de fórmulas, necesita poder elegir la fórmula real que necesita. Por ejemplo, si el receptor no se mueve en relación con el aire se debe omitir el\(\pm v_R\). Si la fuente no se mueve en relación con el aire, es necesario omitir el\(\mp v_s\). Para obtener la fórmula correcta, debe reconocer que cuando la fuente se está moviendo hacia el receptor o el receptor se está moviendo hacia la fuente, la frecuencia recibida desplazada por Doppler es mayor (y necesita reconocer que cuando cualquiera se está alejando del otro, el Doppler desplazado recibido la frecuencia es menor). También necesitas suficiente conocimiento matemático para saber qué signo elegir para que la frecuencia recibida\(f \) ′ salga bien.

Algunas personas se mezclan sobre el Efecto Doppler. Piensan que se trata de posición más que de velocidad. (Realmente se trata de velocidad.) Si una sola fuente de sonido de frecuencia viene hacia usted a velocidad constante, el tono (frecuencia) que escucha es mayor que la frecuencia de la fuente. Cuanto más alto depende de qué tan rápido te llegue la fuente. La gente comete el error de pensar que el tono aumenta a medida que la fuente se acerca al receptor. No. Ese sería el caso si la frecuencia dependiera de lo cerca que estuviera la fuente del receptor. No lo hace La frecuencia se mantiene igual. El Efecto Doppler es sobre velocidad, no posición. Todo el tiempo que la fuente se mueve directamente hacia ti, sonará como si tuviera un solo tono inmutable que es más alto que la frecuencia de la fuente. ¡Ahora pato! Una vez que el objeto pasa tu posición y se aleja de ti, tendrá un solo tono inmutable que es menor que la frecuencia de la fuente