33A: Fluidos: Presión, Densidad, Principio de Arquímedes

Un error que se ve en las soluciones a los problemas de fluidos estáticos de objetos sumergidos, es la inclusión, en el diagrama de cuerpo libre para el problema, además de la fuerza de flotación, de una fuerza de presión-tiempo-área típicamente expresada como\(F_P = PA\). Esto es doble conteo. La gente que incluye tal fuerza, además de la fuerza de flotación, no se da cuenta de que la fuerza de flotación es la suma neta de todas las fuerzas de presión-tiempo-área ejercidas, sobre el objeto sumergido por el fluido en el que está sumergido.

Los gases y líquidos son fluidos. A diferencia de los sólidos, fluyen. Un fluido es un líquido o un gas.

Presión

Un fluido ejerce presión sobre la superficie de cualquier sustancia con la que el fluido esté en contacto. La presión es de fuerza por área. En el caso de un fluido en contacto con una superficie plana sobre la cual la presión del fluido es constante, la magnitud de la fuerza sobre esa superficie es la presión multiplicada por el área de la superficie. La presión tiene unidades de\(N/m^2\).

Nunca digas que la presión es la cantidad de fuerza que se ejerce sobre una cierta cantidad de área. La presión no es una cantidad de fuerza. Incluso en el caso especial en el que la presión sobre la “cierta cantidad de área” es constante, la presión no es la cantidad de fuerza. En tal caso, la presión es por lo que hay que multiplicar el área para determinar la cantidad de fuerza.

El hecho de que la presión en un fluido no sea\(5 N/m^2\) de ninguna manera implica que haya una fuerza de 5N actuando sobre un metro cuadrado de superficie (nada más que el hecho de que el velocímetro en tu auto lea 35 mph implica que estás viajando 35 millas o que llevas una hora viajando). De hecho, si dices que la presión en un punto determinado bajo el agua en una piscina es\(15,000 N/m^2\) (quince mil newtons por metro cuadrado), no estás especificando ningún área en absoluto. Lo que estás diciendo es que cualquier elemento de superficie infinitesimal que pueda estar expuesto al fluido en ese punto experimentará una fuerza infinitesimal de magnitud dF que es igual a 15,000\(N/m^2\) veces el área\(dA\) de la superficie. Cuando especificamos una presión, estamos hablando de un posible efecto en un posible elemento de superficie.

Hablamos de un elemento de área infinitesimal porque es totalmente posible que la presión varíe con la posición. Si la presión en un punto en un líquido es de 15,000\(N/m^2\) muy bien podría ser de 16,000\(N/m^2\) en un punto que está a menos de un milímetro de distancia en una dirección y 14,000\(N/m^2\) en un punto que está a menos de un milímetro de distancia en otra dirección.

Hablemos de dirección. La presión en sí misma no tiene dirección. Pero la fuerza que un fluido ejerce sobre un elemento superficial, por la presión del fluido, sí tiene dirección. La fuerza es perpendicular a, y hacia, la superficie. ¿No es eso interesante? La dirección de la fuerza resultante de cierta presión (llamémoslo la fuerza de presión-tiempo-área) sobre un elemento de superficie está determinada por la víctima (el elemento de superficie) en lugar del agente (el fluido).

Dependencia de la Presión en Profundidad

Para un fluido cerca de la superficie de la tierra, la presión en el fluido aumenta con la profundidad. Es posible que te hayas dado cuenta de esto, si alguna vez te has metido bajo el agua, porque puedes sentir el efecto de la presión sobre tus tímpanos. Antes de investigar a fondo este fenómeno, necesito señalar que en el caso de un gas, esta dependencia de la presión de la profundidad es, para muchos propósitos prácticos, insignificante. Al discutir un contenedor de un gas, por ejemplo, normalmente indicamos un solo valor para la presión del gas en el contenedor, descuidando el hecho de que la presión es mayor en el fondo del contenedor. Descuidamos este hecho porque la diferencia en la presión en la parte inferior y la presión en la parte superior es muy pequeña en comparación con la presión misma en la parte superior. Esto lo hacemos cuando la diferencia de presión es demasiado pequeña para ser relevante, pero hay que señalar que incluso una diferencia de presión muy pequeña puede ser significativa. Por ejemplo, un globo lleno de helio, liberado del reposo cerca de la superficie de la tierra caería al suelo si no fuera por el hecho de que la presión del aire en las proximidades de la parte inferior del globo es mayor (aunque solo ligeramente mayor) que la presión del aire en las proximidades de la parte superior de el globo.

Hagamos un experimento mental. (A Einstein le gustaban los experimentos de pensamiento. También se les llama experimentos Gedanken. Gedanken es la palabra alemana para pensar.) Imagínese que construimos un manómetro de la siguiente manera: Tapamos un extremo de una pieza de tubo delgado y colocamos un resorte completamente dentro de la tubería con un extremo en contacto con la tapa final. Ahora colocamos un disco cuyo diámetro es igual al diámetro interior de la tubería, en la tubería y la ponemos en contacto con el otro extremo del resorte. Engrasamos las paredes internas de la tubería para que el disco pueda deslizarse libremente a lo largo de la longitud de la tubería, pero hacemos el ajuste exacto para que ningún fluido pueda pasar por el disco. Ahora perforamos un agujero en la tapa final, retiramos todo el aire de la región de la tubería entre el disco y la tapa de extremo, y sellaremos el orificio. La posición del disco en la tubería, relativa a su posición cuando el resorte no está estirado ni comprimido, es directamente proporcional a la presión sobre la superficie exterior, el lado opuesto al resorte, del disco. Calibramos (marcamos una báscula) el manómetro que acabamos de fabricar, y lo usamos para investigar la presión en el agua de una piscina. Primero observamos que, en cuanto retiramos el aire, el manómetro comenzó a indicar una presión significativa (alrededor de 1.013× 105\(N/m^2\)), es decir, la presión del aire en la atmósfera. Ahora movemos el medidor alrededor y observamos la lectura del medidor. Dondequiera que pongamos el medidor (definimos la ubicación del medidor para que sea la posición del punto central en la superficie exterior del disco) en la superficie del agua, obtenemos una y la misma lectura, (la lectura de presión de aire). A continuación verificamos que la lectura de presión efectivamente aumenta a medida que bajamos el manómetro cada vez más profundo en el agua. Entonces encontramos, el punto que escribí este párrafo para hacer, que si movemos el manómetro horizontalmente a una profundidad particular, la lectura de presión no cambia. Ese es el resultado experimental que quiero usar en el siguiente desarrollo, el hecho experimental de que la presión tiene uno y el mismo valor en todos los puntos que están a una y la misma profundidad en un fluido.

Aquí derivamos una fórmula que da la presión en un fluido estático incompresible en función de la profundidad en el fluido. Volvamos a la piscina. Ahora imagina una superficie cerrada que encierra un volumen, una región en el espacio, que está llena de agua. Voy a llamar al agua en tal volumen, “un volumen de agua”, y voy a darle otro nombre también. Si fuera hielo, lo llamaría un trozo de hielo, pero como es agua líquida, la llamaré “babosa” de agua. Vamos a derivar la relación presión vs. profundidad investigando el equilibrio de un “objeto” que es una babosa de agua.

Considera una babosa cilíndrica de agua cuya parte superior es parte de la superficie de la piscina y cuyo fondo se encuentra a cierta profundidad arbitraria h por debajo de la superficie. Voy a dibujar la babosa aquí, aislada de sus alrededores. La babosa en sí está, por supuesto, rodeada por el resto del agua en la piscina.

En el diagrama, usamos flechas para transmitir el hecho de que hay fuerza de presión-tiempo-área en cada elemento de la superficie de la babosa. Ahora la fuerza de presión-tiempo-área descendente en la parte superior de la babosa es fácil de expresar en términos de presión porque la presión en cada elemento de área infinitesimal que compone la parte superior de la babosa tiene uno y el mismo valor. En cuanto a la determinación de la presión-tiempo-área, este es el caso fácil. La magnitud de la fuerza,\(F_o\), es solo la presión\(P_o\) multiplicada por el área\(A\) de la parte superior del cilindro.

\[F_o=P_o A\]

Se puede hacer un argumento similar para la parte inferior del cilindro. Todos los puntos en la parte inferior del cilindro están a la misma profundidad en el agua por lo que todos los puntos están a una y la misma presión\(P\). La parte inferior del cilindro tiene la\(A\) misma área que la parte superior por lo que la magnitud de la fuerza ascendente\(F\) en la parte inferior del cilindro viene dada por

\[F=PA\]

En cuanto a los lados, si dividimos las paredes laterales del cilindro en un conjunto infinito de elementos de área infinitesimal de igual tamaño, para cada elemento de área lateral, hay un elemento de área correspondiente en el lado opuesto del cilindro. La presión es la misma en ambos elementos porque están a la misma profundidad. Las dos fuerzas tienen entonces la misma magnitud, pero debido a que los elementos se enfrentan en direcciones opuestas, las fuerzas tienen direcciones opuestas. Dos fuerzas opuestas pero iguales suman cero. De tal manera, todas las fuerzas en los elementos del área de la pared lateral se cancelan entre sí.

Ahora estamos en condiciones de dibujar un diagrama de cuerpo libre de la babosa cilíndrica de agua.

Aplicando la condición de equilibrio

\[ \sum F_{\uparrow}=0\]

rendimientos

\[PA-mg-P_o A=0 \label{33-1}\]

En este punto de nuestra derivación de la relación entre presión y profundidad, la profundidad no aparece explícitamente en la ecuación. La masa de la babosa de agua, sin embargo, depende de la longitud de la babosa que es efectivamente la profundidad\(h\). Primero observamos que

\[m=\varrho V \label{33-2}\]

donde\(\varrho\) está la densidad, la masa por volumen, del agua que compone la babosa y\(V\) es el volumen de la babosa. El volumen de un cilindro es su altura multiplicado por su área frontal para que podamos escribir

\[m=\varrho hA\]

Sustituir esta expresión por la masa de la babosa en\(\ref{33-1}\) rendimientos de ecuación

\[PA-\varrho hAg-P_o A=0\]

\[P-\varrho hg-P_o=0\]

\[P=P_o+\varrho gh\label{33-3}\]

Si bien hemos estado escribiendo específicamente sobre el agua, lo único en el análisis que depende de la identidad del fluido incompresible es la densidad\(\varrho\). De ahí que mientras usemos la densidad del fluido en cuestión, la ecuación\(\ref{33-3}\) (\(P=P_o+\varrho gh\)) se aplica a cualquier fluido incompresible. Dice que la presión a cualquier profundidad\(h\) es la presión en la superficie plus\(\varrho gh\).

Unas palabras sobre las unidades de presión están en orden. Nosotros hemos afirmado que las unidades de presión son\(N/m^2\). A esta combinación de unidades se le da un nombre. Se llama el pascal, abreviado Pa.

\[1Pa=1 \frac{N}{m^2}\]

Las presiones a menudo se citan en términos de la unidad de presión no SI, la atmósfera, abreviada atm y definida de tal manera que, en promedio, la presión de la atmósfera terrestre al nivel del mar es de 1 atm. En términos del pascal,

\[\mbox{1 atm}=1.013\times 10^5 \mbox{Pa}\]

El gran error que comete la gente al aplicar equation\(\ref{33-3}\) (\(P=P_o+\varrho gh\)) es ignorar las unidades. Usarán 1 atm para\(P_o\) y sin convertirlo en pascales, le agregarán\(\varrho gh\) el producto. Por supuesto, si uno usa unidades SI para\(\varrho\), y\(g\)\(h\),\(\varrho gh\) sale el producto en el\(N/m^2\) que se encuentra un pascal que definitivamente no es una atmósfera (sino más bien, alrededor de una centésima milésima de atmósfera). Por supuesto no se puede agregar un valor en pascales a un valor en atmósferas. El camino a seguir es convertir el valor de lo\(P_o\) que se te dio en unidades de atmósferas, a pascales, y luego agregar el producto rgh (en unidades SI) a tu resultado para que tu respuesta final cme en pascales.

Presión manométrica

¿Recuerdas el calibre que construimos para nuestro experimento de pensamiento? Esa parte de evacuar el interior de la tubería presenta todo el reto de fabricación. El calibre se volvería inexacto a medida que el aire se filtrara por el disco. En cuanto a la función, la descripción es bastante realista en términos de manómetros reales en uso, excepto para el bombeo del aire fuera de la tubería. Para que se parezca más a un calibre real que uno podría comprar, tendríamos que dejar el interior abierto a la atmósfera. En uso entonces, el manómetro lee cero cuando la presión en el extremo del sensor es de 1 atmósfera, y en general, indica la cantidad en la que la presión que se mide excede la presión atmosférica. Esta cantidad, la cantidad por la cual una presión excede la presión atmosférica, se denomina presión manométrica (ya que es el valor registrado por un manómetro típico). Cuando se necesita contrastar con la presión manométrica, la presión real que hemos estado discutiendo hasta este punto se llama presión absoluta. La presión absoluta y la presión manométrica están relacionadas por:

\[P=P_G+P_o \label{33-4}\]

donde:

\(P\)es la presión absoluta,

\(P_G\)es la presión manométrica, y

\(P_o\)es la presión atmosférica.

Cuando escuchas un valor de presión (que no sea la llamada presión barométrica de la atmósfera terrestre) en tu vida cotidiana, suele ser una presión manométrica (aunque no se use el adjetivo “manómetro” para discutirla). Por ejemplo, si escuchas que la presión recomendada para tus llantas es de 32 psi (libras por pulgada cuadrada) lo que se cotiza es una presión manométrica. La gente que trabaja en sistemas de ventilación a menudo habla de presión de aire negativa. Nuevamente, en realidad están hablando de presión manométrica, y un valor negativo de presión manométrica en una línea de ventilación solo significa que la presión absoluta es menor que la presión atmosférica.

Principio de Arquímedes

La fuerza neta presión-tiempo-área sobre un objeto sumergido en un fluido, la suma vectorial de las fuerzas sobre todo el número infinito de elementos de área de superficie infinitesimal que componen la superficie de un objeto, es ascendente debido a que la presión aumenta con la profundidad. La fuerza del área de presiones ascendentes en la parte inferior de un objeto es mayor que la fuerza de presión-tiempo-área descendente en la parte superior del objeto. El resultado es una fuerza neta hacia arriba sobre cualquier objeto que esté parcial o totalmente sumergido en un fluido. A la fuerza se le llama la fuerza de flotación sobre el objeto. El agente de la fuerza de flotación es el fluido.

Si tomas un objeto en tu mano, sumerge el objeto en agua sin gas y lo sueltas del reposo, sucederá una de tres cosas: El objeto experimentará una aceleración ascendente y sacudirá a la superficie, el objeto permanecerá en reposo, o el objeto experimentará una aceleración descendente y se hundirá. Hemos enfatizado que la fuerza de flotación siempre es ascendente. Entonces, ¿por qué en la tierra jamás se hundiría el objeto? La razón es, por supuesto, que después de liberar el objeto, la fuerza de flotación no es la única fuerza que actúa sobre el objeto. La fuerza gravitacional todavía actúa sobre el objeto cuando el objeto está sumergido. Recordemos que el campo gravitacional de la tierra lo impregna todo. Para un objeto que no toca nada de sustancia sino el fluido en el que se encuentra, el diagrama de cuerpo libre (sin incluir el vector de aceleración) es siempre el mismo (excepto por las longitudes relativas de las flechas):

y toda la cuestión de si el objeto (liberado del reposo en el fluido) se hunde, se queda quieto o se mueve a la superficie, está determinada por cómo se compara la magnitud de la fuerza de flotación con la de la fuerza gravitacional. Si la fuerza de flotación es mayor, la fuerza neta es hacia arriba y el objeto se mueve hacia la superficie. Si la fuerza de flotación y la fuerza gravitacional son iguales en magnitud, el objeto permanece quieto. Y si la fuerza gravitacional es mayor, el objeto se hunde.

Entonces, ¿cómo se determina qué tan grande es la fuerza de flotación sobre un objeto? Primero, el caso trivial: Si las únicas fuerzas sobre el objeto son la fuerza de flotación y la fuerza gravitacional, y el objeto permanece en reposo, entonces la fuerza de flotación debe ser igual en magnitud a la fuerza gravitacional. Este es el caso de un objeto como un bote o un tronco que está flotando en la superficie del fluido en el que se encuentra.

Pero supongamos que el objeto no está flotando libremente en reposo. Considera un objeto que está sumergido en un fluido. No tenemos información sobre la aceleración del objeto, pero no podemos asumir que sea cero. Supongamos que una persona, manteniendo un firme agarre sobre el objeto, ha sumergido el objeto en fluido, y luego, lo ha liberado del reposo. No sabemos en qué dirección va a partir de ahí, pero no podemos suponer que se va a quedar quieto.

Para derivar nuestra expresión para la fuerza de flotación, hacemos un pequeño experimento de pensamiento. Imagínese reemplazar el objeto por una babosa de fluido (el mismo tipo de fluido que aquel en el que se sumerge el objeto), donde la babosa de fluido tiene exactamente el mismo tamaño y forma que el objeto.

Por nuestra experiencia con el agua sin gas sabemos que la babosa de fluido en efecto se quedaría quieta, es decir, que está en equilibrio.

Tabla de Fuerzas
Símbol=?	Nombre	Agente	Víctima
B	Fuerza de flotación	El fluido circundante	La babosa de fluido
\(F_{g\space SF}=m_{SF}g\)	Fuerza Gravitacional sobre la Babosa de Fluido	La Fuerza Gravitacional de la Tierra	La babosa de fluido

Aplicando la ecuación de equilibrio\(\sum F_{\uparrow}=0\) a la babosa de fluidos rinde:

\[\sum F_{\uparrow}=0\]

\[B-F_{g\space SF}=0\]

\[B=F_{g\space SF}\]

La última ecuación establece que la fuerza de flotación sobre la babosa de fluido es igual a la fuerza gravitacional sobre la babosa de fluido. Ahora consigue esto; este es el quid de la derivación: Debido a que la babosa de fluido tiene exactamente el mismo tamaño y forma que el objeto original, presenta exactamente la misma superficie al fluido circundante, y por lo tanto, el fluido circundante ejerce la misma fuerza de flotación sobre la babosa de fluido que sobre el objeto original. Dado que la fuerza de flotación sobre la babosa de fluido es igual en magnitud a la fuerza gravitacional que actúa sobre la babosa de fluido, la fuerza de flotación sobre el objeto original es igual en magnitud a la fuerza gravitacional que actúa sobre la babosa de fluido. Este es el principio de Arquímedes.

El Principio de Arquímedes establece que: La fuerza de flotación sobre un objeto que está parcial o totalmente sumergido en un fluido es ascendente, y es igual en magnitud a la fuerza gravitacional que estaría actuando sobre esa cantidad de fluido que estaría donde está el objeto si el objeto no estuviera allí. Para un objeto que está totalmente sumergido, el volumen de esa cantidad de fluido que estaría donde está el objeto si el objeto no estuviera allí es igual al volumen del objeto mismo. Pero para un objeto sombrero solo está parcialmente sumergido, el volumen de esa cantidad de fluido que estaría donde está el objeto si el objeto no estuviera allí es igual al volumen (típicamente desconocido) de la parte sumergida del objeto. Sin embargo, si el objeto flota libremente en reposo, la ecuación de equilibrio (en lugar del Principio de Arquímedes) puede utilizarse para establecer rápidamente que la fuerza de flotación (de un objeto libremente flotante como un barco) es igual en magnitud a la fuerza gravitacional que actúa sobre el propio objeto.