B20: Ley de Faraday y extensión de Maxwell a la ley de Ampere

Considere el caso de una partícula cargada que se mueve cerca de un imán de barra móvil como se representa en el siguiente diagrama:

Cuando vemos la situación desde el marco de referencia del imán, lo que vemos (como se representa justo arriba) es una partícula cargada que se mueve en un campo magnético estacionario. Ya hemos estudiado el hecho de que un campo magnético ejerce una fuerza\(\vec{F}=q \vec{v}_p\times\vec{B}\) sobre una partícula cargada que se mueve en ese campo magnético. Ahora veamos el mismo fenómeno desde el punto de vista de la partícula cargada:

Seguramente no vamos a cambiar la fuerza ejercida sobre la partícula cargada por el campo magnético del imán con solo mirar la situación desde un marco de referencia diferente. De hecho ya hemos abordado este tema. Lo que dije fue que es el movimiento relativo entre el imán y la partícula cargada lo que importa. Ya sea que la partícula cargada se esté moviendo a través de líneas de campo magnético, o las líneas de campo magnético, debido a su movimiento, se mueven lateralmente a través de la partícula, la partícula experimenta una fuerza. Ahora bien, aquí está el nuevo punto de vista sobre esta situación: Lo que decimos es, que el campo magnético en movimiento no ejerce realmente una fuerza sobre la partícula cargada estacionaria, sino que al moverse lateralmente a través del punto en el que se encuentra la partícula, el campo magnético crea un campo eléctrico en esa ubicación, y es el campo eléctrico el que ejerce la fuerza sobre la partícula cargada. En este punto de vista, tenemos, en la ubicación de la partícula cargada estacionaria, un campo eléctrico que está ejerciendo una fuerza sobre la partícula, y un campo magnético que no ejerce ninguna fuerza sobre la partícula. En esta etapa podría parecer que sería necesario designar el campo magnético como algún tipo especial de campo magnético que no ejerza una fuerza sobre una partícula cargada a pesar de la velocidad relativa entre la partícula cargada y el campo magnético. En cambio, lo que realmente hacemos es caracterizar el campo magnético como en reposo relativo a la partícula cargada.

Entonces, como se ve desde el marco de referencia en el que el imán está en reposo:

la partícula experimenta una fuerza\(\vec{F}\) dirigida fuera de la página en el diagrama anterior debido a su movimiento a través del campo magnético.

Y, como se ve desde el marco de referencia en el que la partícula cargada está en reposo:

la partícula se encuentra en un campo magnético estacionario pero experimenta la misma fuerza\(\vec{F}\) porque también se encuentra en un campo eléctrico dirigido fuera de la página.

Entonces tenemos dos modelos para explicar la fuerza sobre la partícula cargada estacionaria en el caso
representado por:

En el modelo 1 simplemente decimos que en términos de la Fuerza de Lorentz\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\), lo que importa es la velocidad relativa entre la partícula y el campo magnético y para calcular la fuerza identificamos la velocidad\(\vec{v}_p\) de la partícula relativa al campo magnético como hacia la derecha en magnitud\(v_p=v\) en el diagrama anterior así\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\) (donde\(q\) esta la carga de la particula). En el modelo 2 decimos que el movimiento aparente del campo magnético “provoca” que haya un campo eléctrico y un campo magnético estacionario por lo que la partícula experimenta una fuerza\(\vec{F}=q \vec{E}\). Por supuesto que estamos utilizando dos modelos diferentes para caracterizar la misma fuerza. Para que ambos modelos den el mismo resultado debemos tener:

\[\vec{E}=\vec{v}_p\times \vec{B} \label{20-1}\]

donde:

\(\vec{E}\)es el campo eléctrico en un punto vacío en el espacio debido al movimiento de ese punto en relación con un vector de campo magnético que existe en ese punto en el espacio,

\(\vec{v}_p\)es la velocidad del punto vacío en el espacio en relación con el vector de campo magnético, y

\(\vec{B}\)es el vector de campo magnético.

Los físicos han encontrado que el modelo 2 es más fructífero, especialmente cuando se intenta explicar las ondas magnéticas. La idea de que un campo magnético en aparente movimiento lateral a través de un punto en el espacio “provoca” que haya un campo eléctrico en ese punto en el espacio, se conoce como Ley de Inducción de Faraday. Nuestro mnemotécnico para la Ley de Inducción de Faraday es: “Un campo magnético cambiante provoca un campo eléctrico”.

La aceleración experimentada por una partícula cargada en las proximidades de un imán, cuando la partícula cargada se mueve con relación al imán representa un resultado experimental que hemos caracterizado en términos del modelo descrito en la parte anterior de este capítulo. El modelo es útil ya que puede ser utilizado para predecir el resultado y proporcionar explicaciones sobre los procesos físicos relacionados. Otro resultado experimental es que una partícula que tiene un momento dipolar magnético y se mueve en un campo eléctrico con una velocidad que no es ni paralela ni antiparalela al campo eléctrico, experimenta (a excepción de dos direcciones especiales de momento dipolo magnético) una aceleración angular. Interpretamos esto en el sentido de que la partícula experimenta un par. Recordando que una partícula con un momento dipolar magnético que está en reposo en un campo eléctrico no experimenta par, pero una que está en reposo en un campo magnético efectivamente experimenta un par (siempre y cuando el momento dipolar magnético y el campo magnético en el que se encuentra no sean paralelos o antiparalelos entre sí), se podría pensar que podemos modelar el hecho de que una partícula con un momento dipolo magnético experimenta un par cuando se mueve en relación con un campo eléctrico, definiendo un campo magnético “causado” por el movimiento aparente del campo eléctrico relativo a la partícula. Tendrías razón. Para construir dicho modelo, consideramos una partícula cargada que se mueve en un campo eléctrico producido por una larga línea de carga que se distribuye uniformemente a lo largo de la línea. Comenzamos por representar la situación en el marco de referencia en el que la partícula está en reposo y la línea de carga se mueve:

Tenga en cuenta que tenemos dos formas diferentes de contabilizar el campo magnético debido a la línea de carga móvil, en la ubicación de la partícula con un momento dipolo magnético. La línea móvil de carga es una corriente por lo que podemos pensar en el campo magnético como causado por la corriente.

La otra opción es ver el campo magnético como causado por las líneas del campo eléctrico que se mueven lateralmente a través de la partícula. Sin embargo, hay un solo campo magnético, por lo que, las dos formas diferentes de contabilizarlo deben dar el mismo resultado. Vamos a llegar a una expresión para el campo magnético debido al movimiento de un campo eléctrico al forzar las dos formas diferentes de contabilizar el campo magnético a ser consistentes entre sí. Primero, simplemente usaremos la ley de Ampere para determinar el campo magnético en la ubicación de la partícula. Definamos la densidad de carga lineal (la carga por longitud) de la línea de carga a ser\(\lambda\) y la distancia que está la partícula desde la línea de carga a ser\(r\). Supongamos que en una cantidad de tiempo\(dt\) la línea de carga se mueve una distancia\(dx\). Entonces la cantidad de carga que pasa un punto fijo en la línea por la que se mueve la carga, en el tiempo\(dt\), sería\(\lambda dx\). Dividiendo estos últimos por\(dt\) rendimientos\(\lambda dx/dt\) que se pueden expresar como\(\lambda v\) y es justamente la tasa a la que la carga fluye más allá del punto fijo, es decir, es la corriente\(I\). En otras palabras, la línea móvil de carga es una corriente\(I = \lambda v\). De vuelta en el capítulo 17 dimos el resultado experimental para el campo magnético debido a un largo cable recto que transportaba la corriente I en forma de una ecuación que denominamos “Ley de Ampere”. Era la ecuación 17-2; decía:

\[B=\frac{\mu_o}{2\pi} \frac{I}{r}\]

y se aplica aquí. sustituyendo\(I=\lambda v\) en esta expresión\(B\) rendimientos

\[B=\frac{\mu_o}{2\pi} \frac{\lambda v}{r}\label{20-2}\]

Por la regla de la mano derecha para algo rizado algo recto sabemos que el campo magnético se dirige hacia la página en la ubicación de la partícula que tiene un momento dipolo magnético, como se representa en el siguiente diagrama:

Ahora trabajemos en obtener una expresión para el mismo campo magnético desde el punto de vista de que es el campo eléctrico que se mueve lateralmente a través de la ubicación de la partícula el que causa el campo magnético. Primero necesitamos una expresión para el campo eléctrico debido a la línea de carga, en la ubicación de la partícula, es decir, a una distancia r de la línea de carga. La forma de conseguirlo es considerar la línea de carga como consistente en un número infinito de bits de material cargado, cada uno de los cuales es un segmento de longitud infinitesimal dx de la línea de carga. Dado que la línea de carga tiene una densidad de carga lineal\(\lambda\), esto significa que cada uno de los segmentos infinitesimales\(dx\) tiene carga\(\lambda dx\). Para obtener el campo eléctrico en la ubicación de la partícula que tiene un momento dipolo magnético, todo lo que tenemos que hacer es sumar todas las contribuciones al campo eléctrico en la ubicación de la partícula, debido a todos los segmentos infinitesimales de material cargado que conforman la línea de carga. Cada contribución viene dada por la Ley de Coulomb para el Campo Eléctrico. La dificultad es que hay un número infinito de contribuciones. Estarás haciendo esos cálculos cuando estudies capítulo\(30\) de este libro de texto. En esta etapa, simplemente proporcionamos el resultado para el campo eléctrico debido a una línea de carga infinitamente larga que tiene un valor constante de densidad de carga lineal\(\lambda\):

\[E=\frac{\lambda}{2\pi r \epsilon_o}\]

Multiplicar ambos lados por\(\epsilon_o\) rendimientos

\[\epsilon_o E=\frac{\lambda}{2\pi r}\]

La expresión en el lado derecho de esta ecuación aparece en la ecuación\(ref{20-2}\),\(B=\frac{\mu_o}{2\pi} \frac{\lambda v}{r}\). Sustituyendo\(\epsilon_o E\) por\(\frac{\lambda}{2\pi r}\) donde este último aparece en la ecuación\(\ref{20-2}\) rinde:

\[B=\mu_o \epsilon_o Ev\]

Esto representa la magnitud del campo magnético que experimenta una partícula cuando se mueve con velocidad\(v_p=v\) relativa a un campo eléctrico\(\vec{E}\) cuando la velocidad es perpendicular a\(\vec{E}\). Experimentalmente encontramos que una partícula con un momento dipolo magnético no experimenta par (y por lo tanto no campo magnético) si su velocidad es paralela o antiparalela al campo eléctrico\(\vec{E}\). Como tal, podemos hacer nuestro resultado más general (no sólo bueno para el caso cuando la velocidad es perpendicular al campo eléctrico) si escribimos,\(E_{\perp}\) en lugar de\(E\).

\[B=\mu_o \epsilon_o E_{\perp} v\]

Comenzando con la ecuación anterior, podemos agrupar tanto la magnitud como la dirección (como se determina a partir de la Ley de Ampere y la regla de la mano derecha cuando tratamos la línea de carga móvil como una corriente, y como se representa en el diagrama anterior) del campo magnético en una ecuación escribiendo:

\[\vec{B}=\mu_o \epsilon_o \vec{v}\times \vec{E}\]

Podemos expresar\(\vec{B}\) en términos de la velocidad\(\vec{v}_p\) de la partícula en relación con la línea de carga

(en lugar de la velocidad\(\vec{v}\) de la línea de carga relativa a la partícula) simplemente reconociendo que

\[\vec{v}_p=-\vec{v}\]

Sustituyendo esta expresión (\ vec {v} _p=-\ vec {v}) en nuestra expresión por el campo magnético (\(\vec{B}=\mu_o \epsilon_o \vec{v} \times \vec{E}\)) produce:

\[\vec{B}=-\mu_o \epsilon_o \vec{v}_P \times \vec{E}\]

En este modelo, donde se da cuenta del par que experimenta una partícula que tiene un momento dipolar magnético cuando esa partícula se mueve en un campo eléctrico, definiendo un campo magnético\(\vec{B}=-\mu_o \epsilon_o \vec{v}_P \times \vec{E}\) que depende tanto de la velocidad de la partícula en relación con el campo eléctrico como del propio campo eléctrico, se considera que el campo eléctrico en sí no ejerce ningún par sobre la partícula cargada. En esta etapa podría parecer que sería necesario designar el campo eléctrico como algún tipo especial de campo eléctrico que no ejerza un par sobre una partícula cargada a pesar de la velocidad relativa entre la partícula cargada y el campo eléctrico. En cambio, lo que realmente hacemos es caracterizar el campo eléctrico como que está en reposo en relación con la partícula cargada.

Entonces, como se ve desde el marco de referencia en el que la línea de carga está en reposo:

la partícula que tiene un momento dipolo magnético experimenta un par debido a su movimiento a través del campo eléctrico.

Y, como se ve desde el marco de referencia en el que la partícula está en reposo:

la partícula que tiene un momento dipolo magnético se encuentra en un campo eléctrico estacionario pero experimenta el mismo par porque también se encuentra en un campo magnético dirigido, en el diagrama anterior, a la página. Una forma de decir lo que está pasando aquí es decir eso, en términos vagos: Un campo eléctrico cambiante “causa” un campo magnético. El fenómeno de un campo eléctrico cambiante que “causa” un campo magnético se conoce como Extensión de Maxwell a la Ley de Ampere.

Hasta el momento, en este capítulo hemos abordado dos puntos principales: Un campo magnético que se mueve lateralmente a través de un punto en el espacio hace que haya un campo eléctrico en ese punto en el espacio, y, un campo eléctrico que se mueve lateralmente a través de un punto en el espacio hace que haya un campo magnético en ese punto en el espacio. En lo que resta de este capítulo encontramos que juntar estos dos hechos produce algo interesante.

Expresando lo que hemos encontrado en términos del punto de vista en el que el punto\(P\) es fijo y el campo se mueve a través del punto\(P\) con velocidad\(\vec{v}=-\vec{v}_P\), tenemos: un vector de campo magnético que\(\vec{B}\) se mueve con velocidad\(\vec{v}\) transversalmente a través de un punto en el espacio “causará” una eléctrica campo\(\vec{E}=-\vec{v}\times \vec{B}\) en ese punto en el espacio; y; un vector de campo eléctrico que se mueve con velocidad\(\vec{v}\) transversalmente a través de un punto en el espacio “causará” un campo magnético\(\vec{B}=\mu_o \epsilon_o \vec{v}\times \vec{E}\) en ese punto en el espacio. La palabra “causa” está entre comillas porque nunca hay ningún retraso de tiempo. Una forma más precisa de poner sería decir que cada vez que tenemos un vector de campo magnético que se mueve transversalmente a través de un punto en el espacio, existe, simultáneamente, un campo\(\vec{E}=-\vec{v}\times \vec{B}\) eléctrico en ese punto en el espacio, y siempre que tenemos un vector de campo eléctrico que se mueve transversalmente a través de un punto en espacio existe, simultáneamente, un campo magnético\(\vec{B}=\mu_o \epsilon_o \vec{v} \times \vec{E}\) en ese punto en el espacio.

Considera el siguiente circuito. Supongamos que estamos mirando hacia abajo en el circuito desde arriba, lo que significa que en la página es hacia abajo, y fuera de la página es hacia arriba.

Quiero que centren su atención en el cable más a la derecha de ese circuito. En cuanto alguien cierre ese interruptor vamos a obtener una corriente a través de ese cable y esa corriente va a producir un campo magnético. Por medio de la regla de la derecha para algo rizado algo recto, siendo la corriente el algo recto, y nuestro conocimiento de que las corrientes rectas causan campos magnéticos que hacen bucles alrededor de la corriente, podemos deducir que habrá un campo magnético dirigido hacia arriba (señalando fuera de la página) en apunta a la derecha del cable. En estado estacionario, entendemos que los vectores de campo magnético dirigidos hacia arriba estarán en todas partes a la derecha del cable con la magnitud del vector de campo magnético siendo menor cuanto mayor sea la distancia que el punto en cuestión esté del cable. Ahora la pregunta es, ¿cuánto tiempo toma para que el campo magnético se establezca en algún momento a una distancia especificada a la derecha del cable? ¿El campo magnético aparece instantáneamente en cada punto a la derecha del cable o lleva tiempo? James Clerk Maxwell decidió explorar la posibilidad de que lleve tiempo, es decir, que el campo magnético se desarrolle en las proximidades del alambre y se mueva hacia afuera con una velocidad finita.

Aquí quiero hablar sobre el borde de ataque del campo magnético, el límite en expansión dentro del cual ya existe el campo magnético, y fuera del cual, el campo magnético aún no existe. Con cada intervalo de tiempo infinitesimal que pasa se agrega otra capa infinitesimal a la región dentro de la cual existe el campo magnético. Si bien este es más un caso de vectores de campo magnético que crecen lateralmente a través del espacio, el efecto del movimiento del borde de ataque a través del espacio es el mismo, en el límite creciente, como vectores de campo magnético que se mueven a través del espacio. Como tal, voy a referirme a este crecimiento del campo magnético como movimiento del campo magnético a través del espacio.

Para mantener el dibujo despejado voy a mostrar solo uno del número infinito de vectores de campo magnético moviéndose hacia la derecha a una velocidad desconocida (y es esta velocidad la que me interesa) a medida que el campo magnético debido al alambre se establece en el universo.

Nuevamente, lo que estoy diciendo es que, a medida que se acumula el campo magnético, lo que tenemos, se mueven hacia la derecha hacia arriba (señalando fuera de la página, hacia ti) líneas de campo magnético debido a la corriente que acaba de comenzar. Bueno, como un vector de campo magnético se mueve por cualquier ubicación por la que se mueve, “causa” un campo eléctrico\(\vec{E}=-\vec{v}\times \vec{B}\).

En cualquier punto\(P\) por el que pase el vector de campo magnético, existe un campo eléctrico consistente con\(\vec{E}=-\vec{v}\time \vec{B}\). A lo que esto equivale es que tenemos tanto un campo magnético como un campo eléctrico moviéndose hacia la derecha a través del espacio. Pero dijimos que un campo eléctrico que se mueve transversalmente a través del espacio “provoca” un campo magnético. Más concretamente dijimos que siempre va acompañado de un campo magnético dado por\(\vec{B}=\mu_o \epsilon_o \vec{v}\times \vec{E}\). Ahora hemos discutido alrededor en círculo. La corriente “causa” el campo magnético y su movimiento a través del espacio “provoca” un campo eléctrico cuyo movimiento a través del espacio “provoca” el campo magnético. Nuevamente, la palabra “causas” aquí debería interpretarse realmente como “existe simultáneamente con”. Aún así, tenemos dos explicaciones para la existencia de un mismo campo magnético y las dos explicaciones deben ser consistentes entre sí. Para que ese sea el caso, si tomamos nuestra expresión por el campo magnético “causado” por el movimiento del campo eléctrico,

\[\vec{B}=\mu_o \epsilon_o \vec{v} \times \vec{E}\]

y sustituir en él, nuestra expresión\(\vec{E}=-\vec{v}\times \vec{B}\) por el campo eléctrico “causado” por el movimiento del campo magnético, debemos obtener lo mismo\(\vec{B}\) que, en este argumento circular, es “causante” a sí mismo. Vamos a probarlo. Sustituyendo\(\vec{E}=-\vec{v}\times \vec{B}\) en\(\vec{B}=\mu_o \epsilon_o \vec{v} \times \vec{E}\), obtenemos:

\[\vec{B}=-\mu_o \epsilon_o \vec{v}\times (\vec{v}\times \vec{B})\]

Todo bien. Señalando que\(\vec{v}\) es perpendicular a ambos\(\vec{B}\) y\(\vec{v}\times \vec{B}\), es decir, que la magnitud del producto cruzado, en cada caso, es solo el producto de las magnitudes de los vectores multiplicando, obtenemos:

\[\vec{B}=\mu_o\epsilon_o v^2 \vec{B}\]

que copio aquí para su conveniencia:

\[\vec{B}=\mu_o\epsilon_o v^2 \vec{B}\]

Nuevamente, es uno y lo mismo\(\vec{B}\) en ambos lados, entonces, la única forma en que esta ecuación puede ser cierta es si\(\mu_o\epsilon_o v^2\) es exactamente igual a 1. Veamos a dónde nos lleva eso:

\[\mu_o\epsilon_o v^2=1\]

\[v^2=\frac{1}{\mu_o \epsilon_0}\]

\[v=\frac{1}{\sqrt{\mu_o \epsilon_o}}\]

\[v=\frac{1}{\sqrt{\Big (4\pi \times 10^{-7} \frac{T\cdot m}{A} \Big) 8.85\times 10^{-12} \frac{C^2}{N\cdot m^2}}}\]

\[v=3.00\times 10^{8} \frac{m}{s}\]

¡Guau! ¡Esa es la velocidad de la luz! Cuando James Clerk Maxwell se enteró de que los campos eléctricos y magnéticos se propagan a través del espacio a la (ya conocida) velocidad de la luz, se dio cuenta de que la luz son ondas electromagnéticas.