5.6: Ejemplos

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Colisión inelástica en medio de un columpio

Tarzán se balancea sobre una vid para rescatar a un explorador indefenso (como de costumbre) de algún animal atacante u otro. Comienza su swing desde una rama a una altura de 15 m sobre el suelo, agarra al explorador en la parte inferior de su columpio, y continúa el columpio, esta vez hacia arriba, hasta que ambos aterrizan seguros en otra rama. Supongamos que Tarzán pesa 90 kg y el explorador pesa 70, y que Tarzán no sólo se cae de la rama, sino que se empuja para que inicie el swing con una velocidad de 5 m/s ¿Qué tan alto pueden llegar él y el explorador una rama?

Solución

Rompamos esto en partes. La primera parte del swing implica la conversión de cierta cantidad de energía potencial gravitacional inicial en energía cinética. Luego viene la colisión con el explorador, que es completamente inelástica y podemos analizar utilizando la conservación del impulso (suponiendo que Tarzán y el explorador formen un sistema aislado por el breve tiempo que dure la colisión). Después de eso, la segunda mitad de su oscilación implica la conversión completa de su energía cinética en energía potencial gravitacional.

\(m_1\)Sea la masa de Tarzán, \(m_2\) la masa del explorador,\(h_i\) la altura inicial y \(h_f\) la altura final. También tenemos tres velocidades de las que preocuparnos (o, más adecuadamente en este caso, velocidades, ya que su dirección no es motivo de preocupación, siempre y cuando todas apunten de la manera en que se supone que deben hacerlo): la velocidad inicial de Tarzán al inicio del swing, a la que podemos llamar\(v_{top}\); su velocidad en la parte inferior del columpio, justo antes de que agarra al explorador, al que podemos llamar \(v_{bot1}\), y su velocidad justo después de que agarra al explorador, al que podemos llamar\(v_{bot2}\). (Si encuentras esos subíndices confusos, lo siento, son lo mejor que pude hacer; por favor, siéntete libre de inventar el tuyo).

Primera parte: el downswing. Aplicamos conservación de energía, en la forma Ecuación (5.4.1), a la primera parte del swing. El sistema que consideramos consiste en Tarzán y la tierra, y tiene energía cinética así como energía potencial gravitacional. Ignoramos la energía fuente y los términos de energía disipada, y consideramos cerrado el sistema a pesar de que Tarzán se aferra a una vid (como veremos en un par de capítulos, la vid no “trabaja” en Tarzán, es decir, no cambia su energía, solo su dirección de movimiento, porque la fuerza que ejerce sobre Tarzán siempre es perpendicular a su desplazamiento):
\ [K_ {t o p} +U_ {t o p} ^ {G} =K_ {b o t 1} +U_ {b o t} ^ {G}\ label {eq:5.9} .\]
En cuanto a las cantidades que introduje anteriormente, esta ecuación se convierte en:
\ [\ frac {1} {2} _ {1} v_ {t o p} ^ {2} +m_ {1} g h_ {i} =\ frac {1} {2} m_ {1} v_ {b o t 1} ^ {2} +0\ nonumber\]
que se puede resolver para dar
\ [v_ {b o t 1} ^ {2} =v_ {t o p} ^ {2} +2 g h_ {i}\ etiqueta {eq:5.10} \]
(tenga en cuenta que este es solo el resultado familiar (2.2.10) para caída libre! Esto se debe a que, como señalé anteriormente, la vid no trabaja en el sistema.). Sustituyendo, obtenemos
\ [v_ {b o t 1} =\ sqrt {\ left (5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ right) ^ {2} +2\ left (9.8\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}\ derecha)\ times (15\: \ mathrm {m})} =17.9\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ nonumber \]
Segunda parte: la colisión completamente inelástica. El explorador está inicialmente en reposo (suponemos que aún no ha visto a la bestia salvaje lista para abalanzarse, o la ha visto y ¡está paralizado por el miedo!). Después de que Tarzán lo agarra se mueven juntos con una velocidad\ (v_ {bot2}. Conservación del impulso da
\ [m_ {1} v_ {b o t 1} =\ left (m_ {1} +m_ {2}\ right) v_ {b o t 2} \ label {eq:5.11}\]
que podemos resolver para obtener
\ [v_ {b o t 2} =\ frac {m_ {1} v_ {b o t 1}} {m_ {1} +m_ {2}} =\ frac {(90 \:\ mathrm {kg})\ times (17.9\:\ mathrm {m}/\ mathrm {s})} {160\: \ mathrm {kg}} =10\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} \ nonumber\]
Tercera parte: el repunte. Aquí utilizamos nuevamente la conservación de energía en la forma
\ [K_ {b o t 2} +U_ {b o t} ^ {G} =K_ {f} +U_ {f} ^ {G}\ label {eq:5.12} \]
donde el subíndice f se refiere al final mismo del swing, cuando ambos alcanzan con seguridad su nueva rama, y toda su energía cinética tiene se han convertido en energía potencial gravitacional, así \(K_f\) = 0 (lo que significa que es lo más alto que puedan llegar, a menos que comiencen a escalar la vid!). Esta ecuación se puede reescribir como
\ [\ frac {1} {2}\ left (m_ {1} +m_ {2}\ right) v_ {b o t 2} ^ {2} +0=0+\ left (m_ {1} +m_ {2}\ right) g h_ {f}\ nonumber\]
y resolviendo para\(h_f\) obtener
\ [h_ {f} =\ frac {v_ {b o t 2} ^ {2}} {2 g} =\ frac {(10\:\ mathrm {m}/ \ mathrm {s}) ^ {2}} {2\ tiempos 9.8\:\ mathrm {m}/\ mathrm {s} ^ {2}} =5.15 \:\ mathrm {m}\ nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): energía cinética para generar energía potencial: el bloque choca con el resorte

Un bloque de masa\(m\) se desliza sobre una superficie horizontal sin fricción, con una velocidad\(v_i\). Golpea a un resorte ideal, de constante de resorte\(k\), que se fija a la pared. El resorte se comprime hasta que el bloque se detiene momentáneamente, y luego comienza a expandirse nuevamente, por lo que el bloque finalmente rebota.

A falta de disipación, ¿cuál es la velocidad final del bloque?
¿Por cuánto se comprime el resorte?

Solución

Esta es una versión más sencilla del problema considerado en la Sección 5.1, y en el siguiente ejemplo. El problema implica la conversión de la energía cinética en energía potencial elástica, y hacia atrás. En ausencia de disipación, la Ecuación (5.4.1), especializada para este sistema (el resorte y el bloque) dice:

\ [K+U^ {s p r} =\ texto {constante }\ etiqueta {eq:5.13}\]

Para la parte (a), consideramos todo el proceso donde la primavera comienza relajada y termina relajada, así \(U^{spr}_i = U^{spr}_f\) = 0. Por lo tanto, también debemos tener\ (K_f = K_i\), lo que significa que la velocidad final del bloque es la misma que su velocidad inicial. Como se explica en el capítulo, esto es característico de una interacción conservadora.

Para la parte (b), tomamos el estado final para ser el instante en el que el resorte se comprime al máximo y el bloque se encuentra momentáneamente en reposo, por lo que toda la energía en el sistema es energía potencial de resorte (es decir, elástica). Si el resorte se comprime una distancia\(d\) (es decir,\ (x − x_0 = −d\) en la Ecuación (5.1.5)), esta energía potencial es\(\frac{1}{2}kd^2\), por lo que configurando esa igual a la energía inicial del sistema obtenemos:

\ [K_ {i} +0=0+\ frac {1} {2} k d^ {2}\ etiqueta {eq:5.14}\]

\ [\ frac {1} {2} m v_ {i} ^ {2} =\ frac {1} {2} k d^ {2}\ nonumber\]

que se puede resolver para obtener

\ [d=\ sqrt {\ frac {m} {k}} v_ {i} \ nonumber.\]