6.1: Fuerza

Como vimos en el capítulo anterior, cuando una interacción puede ser descrita por una función de energía potencial, es posible usar esta para obtener una solución completa para el movimiento de los objetos involucrados, al menos en una dimensión. De hecho, los métodos basados en energía (conocidos como los métodos lagrangianos y hamiltonianos) también pueden generalizarse para hacer frente a problemas en tres dimensiones, y también proporcionan el camino más directo a la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. Podría ser posible escribir un libro de texto avanzado sobre mecánica clásica sin mencionar en absoluto el concepto de fuerza.

Por otro lado, como es posible que también hayas recogido del ejemplo que elaboré al final del capítulo anterior (sección 5.7), resolver para la ecuación de movimiento usando métodos basados en energía puede implicar matemáticas algo avanzadas, incluso en una sola dimensión, y solo se vuelve más complicado en mayor dimensiones. También se plantea la cuestión de cómo lidiar con interacciones que no son conservadoras (a nivel macroscópico) y por lo tanto no pueden ser descritas por una función energética potencial de las coordenadas macroscópicas. Y, finalmente, hay áreas problemáticas especializadas (como todo el campo de la estática) donde realmente se quiere conocer las fuerzas que actúan sobre los diversos objetos involucrados. Por todas estas razones, aquí se introducirá el concepto de fuerza, y los próximos capítulos ilustrarán cómo se puede utilizar para resolver una variedad de problemas elementales en la mecánica clásica. Esto no significa, sin embargo, que nos vamos a olvidar de la energía a partir de ahora: como veremos, los métodos energéticos seguirán proporcionando atajos útiles en una variedad de situaciones también.

Comenzamos, como de costumbre, considerando dos objetos que forman un sistema aislado, por lo que interactúan entre sí y con nada más. Como hemos visto, bajo estas circunstancias sus momentos individuales cambian, pero el impulso total se mantiene constante. Vamos a tomar la velocidad de cambio del impulso de cada objeto como una medida de la fuerza ejercida sobre él por el otro objeto. Matemáticamente, esto significa que escribiremos para la fuerza promedio ejercida por 1 sobre 2 en el intervalo de tiempo\(\Delta t\) la expresión

\[ \left(F_{12}\right)_{a v}=\frac{\Delta p_{2}}{\Delta t} \label{eq:6.1} .\]

Por favor, observe la notación que vamos a utilizar: los subíndices en el símbolo\(F\) están en el orden “por, on”, como en “fuerza ejercida por” (objeto identificado por primer subíndice) “on” (objeto identificado por segundo subíndice). (La coma es más o menos opcional.)

También puede ver en la Ecuación (\ ref {eq:6.1}) que las unidades de fuerza SI son kg·m/s ². Esta combinación de unidades tiene el nombre especial “newton”, y se abrevia con una N mayúscula.

De la misma manera que anteriormente, podemos escribir la fuerza promedio ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1:

\[ \left(F_{21}\right)_{a v}=\frac{\Delta p_{1}}{\Delta t} \label{eq:6.2} \]

y sabemos, por conservación del ímpetu, que debemos tener\(\Delta p_1 = −\Delta p_2\), así conseguimos nuestro primer resultado importante,

\[ \left(F_{12}\right)_{a v}=-\left(F_{21}\right)_{a v} \label{eq:6.3} .\]

Es decir, cada vez que dos objetos interactúan, siempre ejercen fuerzas iguales (en magnitud) y opuestas (en dirección) entre sí. Esto suele llamarse la tercera ley del movimiento de Newton, o informalmente “la ley de acción y reacción”.

Bien podríamos ahora proceder por líneas familiares y tomar el límite de las ecuaciones. (\ ref {eq:6.1}) y (\ ref {eq:6.2}) anteriores, como\(\Delta t\) va a cero, con el fin de introducir el concepto más general de la fuerza instantánea (o simplemente la “fuerza”, sin más calificadores). Entonces obtenemos

\ begin {align}
&F_ {12} =\ frac {d p_ {2}} {d t}\ nonumber\\
&F_ {21} =\ frac {d p_ {1}} {d t}\ label {eq:6.4}
\ end {align}

y, dado que la ecuación (\ ref {eq:6.3}) debe mantenerse durante un intervalo de tiempo de cualquier tamaño,

\[ F_{12}=-F_{21} \label{eq:6.5} .\]

Ahora bien, en la mayoría de las circunstancias la masa de, digamos, el objeto 2 no cambiará durante la interacción, por lo que podemos escribir

\[ F_{12}=\frac{d}{d t}\left(m_{2} v_{2}\right)=m_{2} \frac{d v_{2}}{d t}=m_{2} a_{2} \label{eq:6.6} .\]

Este es el resultado al que a menudo nos referimos como “\(F = ma\)”, también conocida como la segunda ley del movimiento de Newton: la fuerza (neta) que actúa sobre un objeto es igual al producto de su masa inercial y su aceleración. La formulación en términos de la tasa de cambio de impulso, como en las Eqs. (\ ref {eq:6.4}), es, sin embargo, algo más general, por lo que es técnicamente preferido, aunque este semestre lo usaremos directamente a\(F = ma\) lo largo de todo.

Si quieres un ejemplo de una situación física donde no\(F = dp/dt\) es equivalente a\(F = ma\), considera un sistema donde el objeto 1 es un cohete, incluyendo su combustible, y “objeto” 2 son los gases expulsados por el cohete. En este caso, la masa de ambos “objetos” cambia constantemente, ya que se quema el combustible y se expulsan más gases, por lo que se\(F = dp/dt\) necesita utilizar la forma más general para calcular la fuerza sobre el cohete (el empuje) en un momento dado.

En este punto tal vez te estés preguntando ¿cuál es la primera ley de Newton? Es solo la ley de la inercia: un objeto sobre el que ninguna fuerza actúa permanecerá en reposo si inicialmente está en reposo, o se moverá con velocidad constante.

Fuerzas y Sistemas de Partículas

¿Y si tuvieras, digamos, tres objetos (hagámoslos “partículas”, por simplicidad), todos interactuando entre sí? En la física encontramos que todas nuestras interacciones son aditivas por pares, es decir, podemos escribir la energía potencial total del sistema como la suma de las energías potenciales asociadas a cada par de partículas por separado. Como veremos en un momento, esto significa que las fuerzas correspondientes también son aditivas, de manera que, por ejemplo, la fuerza total sobre la partícula 1 podría escribirse como

\[ F_{a l l, 1}=F_{21}+F_{31}=\frac{d p_{1}}{d t} \label{eq:6.7}. \]

Consideremos ahora el caso más general de un sistema que tiene un número arbitrario de partículas, y no está aislado; es decir, hay otros objetos, fuera del sistema, que ejercen fuerzas sobre algunas o todas las partículas que componen el sistema. Llamaremos a estas fuerzas externas. La suma de todas las fuerzas (tanto internas como externas) que actúan sobre todas las partículas tomará una forma como esta:

\[ F_{\text {total}}=F_{\text {ext}, 1}+F_{21}+F_{31}+\ldots+F_{\text {ext}, 2}+F_{12}+F_{32}+\ldots+\ldots=\frac{d p_{1}}{d t}+\frac{d p_{2}}{d t}+\ldots \label{eq:6.8} \]

donde\(F_{ext,1}\) es la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre la partícula 1, y así sucesivamente. Pero ahora, observa que debido a la tercera ley de Newton, la Ecuación (\ ref {eq:6.5}), por cada término de la forma\(F_{ij}\) que aparece en la suma (\ ref {eq:6.8}), hay un término correspondiente\(F_{ji} = −F_{ij}\) (se puede ver esto explícitamente ya en la Ecuación (\ ref {eq:6.8}) con\(F_{12}\) y\(F_{21}\)), así que todos esos términos (que representan todas las fuerzas internas) van a cancelar, y nos quedaremos solo con la suma de las fuerzas externas:

\[ F_{e x t, 1}+F_{e x t, 2}+\ldots=\frac{d p_{1}}{d t}+\frac{d p_{2}}{d t}+\ldots \label{eq:6.9} \]

El lado izquierdo de esta ecuación es la suma de todas las fuerzas externas; el lado derecho es la tasa de cambio del impulso total del sistema. Pero el impulso total del sistema es igual a\(Mv_{cm}\) (comparar la Ecuación (3.3.4), en el capítulo “Momentum”). Así que tenemos

\[ F_{e x t, a l l}=\frac{d p_{s y s}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(M v_{c m}\right) \label{eq:6.10} .\]

Esto extiende un resultado previo. Ya sabíamos que ante la ausencia de fuerzas externas, el impulso de un sistema se mantenía constante. Ahora vemos que el impulso del sistema responde a la fuerza externa neta como si todo el sistema fuera una sola partícula de masa igual a la masa total\(M\) y moviéndose en el centro de la velocidad de la masa\(v_{cm}\). De hecho, suponiendo que\(M\) no cambia podemos reescribir la Ecuación (\ ref {eq:6.10}) en la forma

\[ F_{\text {ext }, a l l}=M a_{c m} \label{eq:6.11} .\]

donde\(a_{cm}\) esta la aceleracion del centro de masa. Este es el resultado clave que nos permite tratar objetos extendidos como si fueran partículas: en lo que respecta al movimiento del centro de masa, todas las fuerzas internas se anulan (como ya vimos en nuestro estudio de colisiones), y el punto que representa el centro de masa responde a la suma de lo externo fuerzas como si fuera sólo una partícula de masa\(M\) sujeta a la segunda ley de Newton,\(F = ma\). El resultado (\ ref {eq:6.11}) se aplica igualmente bien a un objeto sólido extendido que elegimos romper mentalmente en una colección de partículas, como a una colección real de partículas separadas, o incluso a una colección de objetos extendidos separados; en este último caso, solo tendríamos el movimiento de cada objeto representado por el movimiento de su propio centro de masas.

Por último, señalar que todos los resultados anteriores generalizan a más de una dimensión. De hecho, las fuerzas son vectores (al igual que la velocidad, la aceleración y el impulso), y todas las ecuaciones anteriores, en 3 dimensiones, se aplican por separado a cada componente vectorial. En una dimensión, solo necesitamos estar conscientes del signo de las fuerzas, siempre que sumemos varias de ellas juntas.