11.7: Ejercicios

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Un bloque de masa\(m\) se desliza sobre una superficie horizontal sin fricción, con una velocidad\(v_i\). Golpea a un resorte ideal, de constante de resorte\(k\), que se fija a la pared. El resorte se comprime hasta que el bloque se detiene momentáneamente, y luego comienza a expandirse nuevamente, por lo que el bloque finalmente rebota (ver Ejemplo 5.6.2).

Anote una ecuación de movimiento (una función\(x(t)\)) para el bloque, la cual es válida mientras esté en contacto con el resorte. Por simplicidad, supongamos que el bloque se mueve inicialmente hacia la derecha, tómate el tiempo en el que primero hace contacto con el resorte para que sea\(t\) = 0, y deja que la posición del bloque en ese momento sea \(x\) = 0. Asegúrese de expresar cualquier constante en su ecuación (como\(A\) o\(\omega\)) en términos de los datos dados, es decir,\(m\),\(v_i\), y\(k\).
Croquis de la función\(x(t)\) para el intervalo de tiempo relevante.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Para este problema, imagina que estás en un barco que está oscilando hacia arriba y hacia abajo sobre un mar agitado. Supongamos por simplicidad que este es simple movimiento armónico (en la dirección vertical) con amplitud 5 cm y frecuencia 2 Hz. Hay una caja en el piso con masa\(m\) = 1 kg.

Suponiendo que la caja permanezca en contacto con el piso en todo momento, encuentre los valores máximo y mínimo de la fuerza normal ejercida sobre ella por el piso durante un ciclo de oscilación.
¿Qué tan grande tendría que llegar a ser la amplitud de las oscilaciones para que la caja pierda contacto con el piso, suponiendo que la frecuencia se mantenga constante? (Pista: ¿cuál es el valor de la fuerza normal en el momento en que la caja pierde contacto con el piso?)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Imagina un simple péndulo balanceándose en un elevador. Si el cable que sujetaba el elevador fuera a chasquear, permitiendo que el elevador entrara en caída libre, ¿qué pasaría con la frecuencia de oscilación del péndulo? Justifica tu respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Considera un bloque de masa\(m\) unido a dos muelles, uno a la izquierda con constante elástica\(k_1\) y otro a la derecha con constante elástica\(k_2\). Cada resorte está unido por el otro lado a una pared, y el bloque se desliza sin fricción sobre una superficie horizontal. Cuando el bloque está sentado a\(x\) = 0, ambos resortes están relajados.

Escribe la segunda ley de Newton,\ (F = ma\), como una ecuación diferencial para una posición arbitraria\(x\) del bloque. ¿Cuál es el periodo de oscilación de este sistema?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Considera el bloque que cuelga de un resorte que se muestra en la Figura 11.2.5. Supongamos que la masa del bloque es de 1.5 kg y el sistema está en reposo cuando el resorte se ha estirado a 2 cm de su longitud original (es decir, con referencia a la figura, \(y_{0}-y_{0}^{\prime}\) = 0.02 m).

¿Cuál es el valor de la constante de resorte\(k\)?
Si estiras el resorte 2 cm más hacia abajo desde esta posición de equilibrio, y lo sueltas, ¿cuál será la frecuencia de las oscilaciones?
Consideremos ahora el sistema formado por el resorte, el bloque y la tierra. Toma el “cero” de la energía potencial gravitacional para estar a la altura\(y_{0}^{\prime}\) (el punto de equilibrio; ¡también puedes usar esto como origen para la coordenada vertical!) , y calcular todas las energías del sistema (cinética, resorte/elástica y gravitacional) en el punto más alto de la oscilación, el punto de equilibrio y el punto más bajo. Verificar que la suma sea efectivamente constante.