4.5: Resumen

Claves para llevar

Cuando el movimiento de un objeto está en más de una dimensión, describimos la posición del objeto usando un vector,\(\vec{r}\). \[\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z\end{aligned}\]donde\(x(t)\),\(y(t)\), y\(z(t)\), son las coordenadas de posición del objeto. Tratamos el movimiento en cada dimensión como independiente.

El vector de velocidad instantánea y el vector de aceleración vienen dados por:\[\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t)\end{aligned}\]

Si el vector de aceleración es constante (en magnitud y dirección), entonces la posición y velocidad del objeto se describen por:\[\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t\end{aligned}\] donde cada una de estas ecuaciones vectoriales representa 3 ecuaciones independientes, una para cada una de las\(x\)\(y\), y\(z\) componente de los vectores.

Si un objeto tiene la posición\(\vec{r}^A\) medida en un marco de referencia\(xy\) que se mueve a velocidad constante\(\vec{v}'^B\) medida en un segundo marco de referencia\(x'y'\), entonces en el marco de\(x'y'\) referencia:\[\begin{aligned} \vec r'^A(t) &= \vec v'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec v'^A(t) &=\vec v'^B+\vec v^A(t)\\ \vec a'^A(t)&=\vec a^A(t)\end{aligned}\] An la aceleración puede cambiar la magnitud y/o la dirección del vector de velocidad.

1. El componente del vector de aceleración que es paralelo al vector de velocidad cambia la magnitud de la velocidad.
2. El componente del vector de aceleración que es perpendicular al vector de velocidad cambia la dirección de la velocidad.

El vector de aceleración para el movimiento en dos dimensiones se puede escribir como la suma de vectores que son paralelos (\(\vec a_{\parallel}\)) y perpendiculares (\(\vec a_{\perp}\)) al vector de velocidad:\[\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp}\end{aligned}\]

Si la posición de un objeto que se mueve en un círculo de radio\(R\) se describe por su posición a lo largo del eje curvo\(s\), entonces su posición a lo largo del círculo se puede describir usando un ángulo,\(\theta\), en radianes:\[\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R}\end{aligned}\] Para un objeto que se mueve a lo largo de un círculo, nosotros puede escribir su vector de posición\(\vec r(t)\),, como:\[\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\end{aligned}\] La velocidad angular\(\omega\),, es la velocidad de cambio del ángulo. La aceleración angular,\(\alpha\), es la velocidad de cambio de la velocidad angular:\[\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\end{aligned}\] Las cantidades cinemáticas lineales se pueden encontrar a partir de las cantidades angulares:\[\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha\end{aligned}\] Para el movimiento circular, el vector de velocidad es tangente al círculo y la componente perpendicular del aceleración se llama aceleración centrípeta. La aceleración centrípeta apunta hacia el centro del círculo y tiene una magnitud de:\[\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\end{aligned}\] El vector de aceleración centrípeta se puede escribir como: Circular\[\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\end{aligned}\] uniforme es el movimiento de un objeto alrededor de un círculo con una velocidad constante. El periodo,\(T\), es el tiempo que tarda el objeto en completar una revolución. La frecuencia,\(f\), es la inversa del periodo, y puede pensarse como el número de revoluciones completadas por segundo:\[\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac{1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi}\end{aligned}\]

Ecuaciones Importantes

Movimiento en 2D:

\[\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t)\end{aligned}\]

Movimiento relativo 2D:

\[\begin{aligned} \vec r'^A(t) &= \vec v'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec v'^A(t) &=\vec v'^B+\vec v^A(t)\\ \vec a'^A(t)&=\vec a^A(t)\end{aligned}\]

Vector de aceleración 2D:

\[\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \textrm{(constant speed:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}\]

Movimiento Circular:

\[\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac{1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi}\end{aligned}\]

Definiciones importantes

Definición

Vector de posición: Un vector, generalmente etiquetado\(\vec r\), para describir la posición de un objeto en relación con el origen de un sistema de coordenadas. En las coordenadas cartesianas, el vector de posición viene dado simplemente por las\(z\) coordenadas\(x\)\(y\),, y del objeto,\(\vec r = x\hat x = y \hat y+ z\hat z\).

Definición

Vector de velocidad: Un vector, generalmente etiquetado\(\vec v\), que corresponde a la tasa de tiempo de cambio (la derivada con respecto al tiempo) del vector de posición.

Definición

Vector de aceleración: Un vector, generalmente etiquetado\(\vec a\), que corresponde a la tasa de tiempo de cambio (la derivada con respecto al tiempo) del vector de velocidad.

Definición

Posición angular: El ángulo que hace el vector de posición con el\(z\) eje\(x\) o. Unidades SI: ninguna. Variable (s) común\(\theta\) (es): (ángulo con el\(z\) eje),\(\phi\) (ángulo con el\(x\) eje).

Definición

Velocidad angular: La velocidad a la que cambia un ángulo con respecto al tiempo. Unidades SI: [s^ -1]. Variable (s) común (es):\(\vec \omega\). La velocidad angular puede ser representada por un vector, usando la regla de la derecha para vectores axiales.

Definición

Aceleración angular: La velocidad a la que cambia la velocidad angular con respecto al tiempo. Unidades SI: [s^ -2]. Variable (s) común (es):\(\vec \alpha\). La aceleración angular puede ser representada por un vector, usando la regla de la derecha para vectores axiales.

Definición

Movimiento circular uniforme: El movimiento de un objeto con velocidad constante alrededor de un círculo.