1.E: Introducción a la Mecánica Clásica (Ejercicios)

1.1 Oscilador armónico revisitado Supongamos que tiene un pequeño objeto de masa m, que se fija a un resorte de constante de resorte k (que a su vez se fija a una pared en su otro extremo, figura 1.1). Arriba, derivamos una expresión para la frecuencia de oscilación de la masa. También argumentamos que debería ser lo mismo tanto para un oscilador posicionado horizontal como para otro verticalmente, es decir, que la frecuencia es independiente de la aceleración gravitacional g.

1. Mostrar que la frecuencia de oscilación también es independiente de su amplitud A (la distancia máxima desde la posición de equilibrio que alcanza la masa oscilante).
2. Utilice el análisis dimensional para derivar una expresión para la velocidad máxima de la masa durante la oscilación, en función de m, k y A.

1.2 En física, asumimos que cantidades como la velocidad de la luz (c) y la constante gravitacional de Newton (G) tienen el mismo valor en todo el universo, y por lo tanto se conocen como constantes físicas. Una tercera constante de este tipo de la mecánica cuántica es la constante de Planck (\(\hbar\), una\(h\) con barra). En la física de alta energía, las personas se ocupan de procesos que ocurren a escalas de longitud muy pequeñas, por lo que nuestras unidades de SI regulares como metros y segundos no son muy útiles. En cambio, podemos combinar las constantes físicas fundamentales en diferentes valores básicos.

1. Combine c, G y\(\hbar\) en una cantidad que tenga las dimensiones de longitud.
2. Calcular el valor numérico de esta longitud en unidades SI (esto se conoce como la longitud de Planck). Se pueden encontrar los valores numéricos de las constantes físicas en el apéndice B
3. De igual manera, combine c, G y\(\hbar\) en una cantidad que tenga las dimensiones de la energía (de hecho, conocida como la energía de Planck) y calcule su valor numérico.

1.3 Números de Reynolds Los físicos suelen utilizar cantidades adimensionales para comparar la magnitud de dos cantidades físicas. Dichos números tienen dos ventajas principales sobre las cantidades con números. Primero, como las cantidades adimensionales no llevan unidades, no importa qué sistema de unidades uses, siempre obtendrás el mismo valor. Segundo, al comparar cantidades, los conceptos 'grande' y 'pequeño' están bien definidos, a diferencia de las cantidades con una dimensión (por ejemplo, una distancia puede ser pequeña en escalas humanas, pero muy grande para una bacteria). Quizás el ejemplo más conocido de una cantidad adimensional es el número de Reynolds en mecánica de fluidos, que compara la magnitud relativa de las fuerzas inerciales y de arrastre que actúan sobre un objeto en movimiento:

\[Re={\text{inertial forces} \over \text{drag forces}}={{\rho v L} \over \eta}\]

donde\(\rho\) es la densidad del fluido (ya sea un líquido o un gas), v la velocidad del objeto, L su tamaño, y\(\eta\) la viscosidad del fluido. Los valores típicos de la viscosidad son 1.0\(mPa \cdot s\) para el agua, 50\(mPa \cdot s\) para el ketchup y 1.0\(\mu Pa \cdot s\) para el aire.

1. Estima el número típico de Reynolds para un pato al volar y al nadar (puedes suponer que la natación ocurre completamente sumergida). NB: Esto requerirá que busques o hagas conjeturas educadas sobre algunas propiedades de estas aves en movimiento. En cualquier caso, ¿es dominante la inercial o la fuerza de arrastre?
2. Estimar el número típico de Reynolds para una bacteria nadadora. Nuevamente indican qué fuerza es dominante.
3. Los petroleros que quieren hacer puerto en Rotterdam ya ponen sus motores en reversa a mitad de camino a través del mar del Norte. Explique por qué tienen que hacerlo.
4. Exprese el número de Reynolds para el flujo de agua a través de una tubería (circular) en función del radio R de la tubería, el caudal volumétrico (es decir, volumen por segundo que fluye a través de la tubería) Q y la viscosidad cinemática\(v \equiv {\eta \over \rho}\).
5. Para un número bajo de Reynolds, los fluidos normalmente exhibirán el llamado flujo laminar, en el que todas las partículas de fluido siguen caminos que se alinean muy bien (este es el flujo transparente de agua de un grifo a bajo flujo). Para mayor número de Reynolds, el flujo se vuelve turbulento, con muchos remolinos y vórtices (el flujo de agua de aspecto blanco del grifo que se observa al aumentar el caudal). El número máximo de Reynolds para el que el flujo es típicamente laminar se mide experimentalmente para ser de aproximadamente 2300. Estimar la velocidad de flujo y caudal volumétrico de agua de un grifo con un diámetro de 1.0 cm en el caso de que el flujo sea simplemente laminar.

1.4 La velocidad de escape de un planeta se define como la velocidad inicial mínima que un objeto debe tener para escapar completamente de su atracción gravitacional (y así ir lo suficientemente rápido como para desafiar la regla de que 'lo que sube debe bajar').

1. A partir de la ley universal de gravitación de Newton (ecuación 2.9), determinar la dimensión de la constante gravitacional G.
2. Utilice el análisis dimensional para mostrar que para un planeta de masa M y radio R, la velocidad de escape escala como\(v \sim \sqrt{MG \over R}\).
3. Un cálculo más detallado muestra que de hecho tenemos\(v_\text{escape}=\sqrt{2GM \over R}\). Expresar este valor de la velocidad de escape en términos de la densidad (de masa)\(\rho\) del planeta, en lugar de su masa M.
4. La densidad promedio de la luna es aproximadamente\(6 \over 10\) ^th la de la Tierra, y el radio de la Luna es aproximadamente\(11 \over 40\) veces mayor que el de la Tierra. A partir de estos números y tu respuesta en (c), calcula la relación de las velocidades de escape de la Luna y la Tierra, y explica por qué los astronautas del Apolo necesitaban un cohete enorme para llegar a la Luna, y solo uno pequeño para regresar.