1.2: Análisis Dimensional

Aunque por supuesto necesitarás un modelo físico completo (representado como un conjunto de ecuaciones matemáticas) para describir completamente un sistema físico, puedes llegar sorprendentemente lejos con un método simple que no requiere ningún conocimiento detallado en absoluto. Este método se conoce como análisis dimensional, y basado en la observación en la sección anterior de que los dos lados de cualquier ecuación física tienen que tener la misma dimensión. Puedes usar este principio para entender cualitativamente un sistema, y hacer predicciones sobre cómo responderá cuantitativamente si cambias algún parámetro. Para entender cómo funciona el análisis dimensional, un ejemplo es probablemente el más efectivo; tomaremos uno que es omnipresente en la mecánica clásica: una masa que oscila sobre un resorte (conocido como el oscilador armónico), ver Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Un oscilador armónico: una masa m suspendida en un resorte con constante de resorte k, que oscila con una frecuencia\(\omega\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Dimensional Analysis of the Harmonic Oscillator

Considera el oscilador armónico que consiste en una masa de magnitud m, suspendido en un resorte con constante de resorte k. Si baja un poco la masa y la suelta, oscilará con una frecuencia\(\omega\). ¿Podemos predecir cómo cambiará esta frecuencia si doblamos la masa?

Solución

Hay dos formas de responder a esta pregunta. Una es considerar todas las fuerzas que actúan sobre la masa, luego usar la segunda ley de Newton para derivar una ecuación diferencial (conocida como la ecuación del movimiento) para la masa, resolverla, y a partir de la solución determinar qué sucede si cambiamos la masa. El segundo es considerar las dimensiones de las cantidades involucradas. Tenemos una masa, que tiene dimensión de masa (\(M\)), ya que es una de nuestras cantidades básicas. Tenemos un resorte con constante de resorte k, que tiene dimensiones de fuerza por unidad de longitud, o masa por unidad de tiempo al cuadrado:

\[[k]={F \over L}={MLT^{-2} \over L}={M \over T^2} \label{1.2.1} \]

Anote la notación [k] para la dimensión de k. Para la frecuencia, tenemos\([\omega]={1 \over T}\). Ahora sabemos que la frecuencia es una función de la constante elástica y de la masa, y que ambos lados de esa ecuación deben tener el mismo signo. Dado que no hay masa en la dimensión de la frecuencia, sino que existe en la dimensión tanto de la constante de resorte como de la masa, sabemos que\(\omega\) debe depender de la relación de k y m:\(\omega \sim {k \over m}\). Ahora\({[{k \over m}]}={1 \over T^2}\), and from \([\omega]={1 \over T}\), concluimos que debemos tener

\[\omega \sim \sqrt{k \over m} \label{1.2.2}\]

La ecuación\ ref {1.2.2} nos permite responder a nuestra pregunta de inmediato: si duplicamos la masa, la frecuencia disminuirá por un factor de\(\sqrt2\).

Tenga en cuenta que en la Ecuación\ ref {1.2.2} no escribí un signo igual, sino un signo de 'escalas como' (\(\sim\), a veces también escrito como). Esto se debe a que el análisis dimensional no nos dirá sobre ningún factor numérico que pueda aparecer en la expresión, ya que esos factores numéricos no tienen unidad (o, más correctamente, no tienen dimensión - son adimensionales).

Puedes objetar que podría haber otro factor en juego: ¿no debería importar la gravedad? La respuesta es no, como también podemos ver rápidamente a partir del análisis dimensional. La fuerza de gravedad viene dada por mg, introduciendo otro parámetro g (la aceleración gravitacional) con dimensión\([g]={L \over T^2}\). Ahora bien, si la frecuencia dependiera de g, tiene que haber otro factor para cancelar la dependencia de la longitud, ya que la frecuencia misma es independiente de la longitud. Ni m ni k tienen una dependencia de longitud en su dimensión, y por lo tanto no pueden 'matar' a la\(L\) en la dimensión de\(g\); por lo tanto, la frecuencia tampoco puede depender de\(g\) - que ahora hemos descubierto sin invocar ninguna ecuación (diferencial)!

Arriba, he esbozado cómo se puede usar el análisis dimensional para llegar a una relación de escalado físico a través de la inspección: hemos combinado los diversos factores para llegar a la dimensión correcta. Tales combinaciones no siempre son tan fáciles de ver, y en cualquier caso, tal vez te preguntes si las has visto correctamente todas. Afortunadamente, existe un método más robusto, que también podemos utilizar para demostrar una vez más que la frecuencia es independiente de la aceleración gravitacional. Supongamos que en general\(\omega\) podría depender de k, m y g. La dependencia funcional puede entonces escribirse como ²

\[[\omega]={[k^{\alpha}m^{\beta}g^{\gamma}]}={M \over T^2}^{\alpha}M^{\beta}{L \over T^2}^{\gamma}={M^{\alpha + \beta}T^{-2(\alpha + \gamma)}L^ \gamma}\]

lo que lleva a tres ecuaciones para los exponentes:

\(\alpha +\beta =0\)
\(-2(\alpha - \gamma) =-1\)
\(\gamma =0\)

que puedes resolver fácilmente para encontrar\(\alpha = {1 \over 2}\),,\(\beta = -{1 \over 2}\)\(\gamma=0\), lo que nos da Ecuación\ ref {1.2.2}. Este método ³ te permitirá obtener relaciones dimensionales en sorprendentemente muchos casos diferentes, y es utilizado por la mayoría de los físicos como primera línea de ataque cuando se encuentran por primera vez con un sistema desconocido.

² La función real puede, por supuesto, contener múltiples términos que se suman, pero todos ellos deben tener la misma dimensión. Operadores como senos y exponenciales deben ser adimensionales, ya que no hay dimensiones de la forma sin (M) o\(e^L\). Las únicas dependencias dimensionales permisibles son, por lo tanto, las leyes de poder.

³ El método es a veces referido como el algoritmo de Rayleigh, después de John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919), quienes lo aplicaron, entre otras cosas, a la dispersión de la luz en el aire. El resultado del análisis de Rayleigh se puede utilizar para explicar por qué el cielo es azul.