2.6: Resolver las ecuaciones de movimiento en tres casos especiales

En la Sección 2.3 vimos algunos ejemplos de ecuaciones de movimiento originadas en la segunda ley del movimiento de Newton. Para el caso bastante común de que la masa de nuestro objeto de interés es constante, su trayectoria se dará como la solución de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, con el tiempo como nuestra variable. En general, la fuerza en la segunda ley de Newton puede depender del tiempo y la posición, así como de la primera derivada de la posición, es decir, la velocidad. En una dimensión, tenemos

\[m \ddot{x}=F(x, \dot{x}, t) \label{force}\]

Ecuación\ ref {force} puede ser difícil de resolver para funciones complicadas F. Sin embargo, en cada uno de los casos especiales que la fuerza sólo depende de una de las tres variables, podemos anotar una solución general -aunque como una integral sobre la fuerza, que podemos o no ser capaces de calcular explícitamente.

Caso 1: F=F (t)

Si la fuerza solo depende del tiempo, podemos resolver la Ecuación (\ ref {fuerza}) por integración directa. Usando eso\(v=\dot x\) tenemos\(m \dot v=F(t)\), que integramos para encontrar

\[\int_{t_{0}}^{t} F\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}=m \int_{v_{0}}^{v} \mathrm{d} v^{\prime}=m\left[v(t)-v_{0}\right]\]

donde en el momento inicial\(t=t_0\) el objeto tiene velocidad\(v=v_0\). Ahora podemos encontrar la posición integrando la velocidad:

\[x(t)=\int_{t_0}^{t} v(t^{\prime})dt^{\prime} \label{case1}\]

Caso 2: F=F (x)

Si la fuerza depende únicamente de la posición en el espacio (como es el caso del oscilador armónico), no podemos integrarnos a lo largo del tiempo, ya que para hacerlo ya necesitaríamos saber x (t). En cambio, invocamos la regla de la cadena para reescribir nuestra ecuación diferencial como una ecuación en la que la posición es nuestra variable. Contamos con:

\[a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}\]

y así nuestra ecuación de movimiento se convierte

\[m v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=F(x) \label{fx}\]

que nuevamente resolvemos por integración directa:

\[\int_{x_{0}}^{x} F\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}=m \int_{v_{0}}^{v} v^{\prime} \mathrm{d} v^{\prime}=\frac{m}{2}\left[v^{2}(x)-v_{0}^{2}\right] \label{fxsoln}\]

Para obtener x (t), utilizamos la relación que\({dx \over dt}=v(x)\). La separación de variables da\({dx \over v(x)} = dt\), que podemos integrar para obtener

\[t-t_{0}=\int_{x_{0}}^{x} \frac{1}{v\left(x^{\prime}\right)} \mathrm{d} x^{\prime} \label{case2}\]

lo que nos da t (x). En principio podemos invertir esta expresión para darnos x (t), aunque en la práctica esto puede no ser fácil.

Caso 3: F=F (v)

Si la fuerza depende sólo de la velocidad, hay dos formas en las que podemos proceder. Podemos escribir la ecuación del movimiento como\(m {dv \over dt}=F(v)\) y usar la separación de variables para obtener:

\[t-t_{0}=m \int_{\nu_{0}}^{v} \frac{1}{F\left(v^{\prime}\right)} \mathrm{d} v^{\prime}\]

de la que podemos obtener\(v(t)\) después de invertir, y\(x(t)\) después de integrar\(v(t)\) como en Ecuación (\ ref {caso1}). Alternativamente, podríamos volver a escribir nuestra ecuación de movimiento como una ecuación en el espacio en lugar del tiempo, y llegar a:

\[x-x_{0}=m \int_{v_{0}}^{v} \frac{v^{\prime}}{F\left(v^{\prime}\right)} \mathrm{d} v^{\prime} \label{case3}\]

De la Ecuación (\ ref {caso3}) podemos obtener v (x) invirtiendo, y x (t) de la Ecuación (\ ref {caso2}). Tenga en cuenta que la Ecuación (\ ref {caso3}) no nos da\(x(t)\) directamente, como lo\(x\) es la variable en esa ecuación.

Ejemplo 2.6.4: velocidad del oscilador armónico

Puede parecer que lo que hemos hecho hasta ahora en esta sección apenas ha ayudado a importar: las 'soluciones' que encontramos contienen integrales y muchas veces necesitan ser invertidas para obtener nuestra función deseada\(x(t)\) (o, dependiendo del problema que estemos estudiando,\(v(t)\) o\(v(x)\)). Para mostrarte cómo pueden ser útiles estas soluciones, consideremos un ejemplo específico: un oscilador armónico, que consiste en una masa en un resorte Hookean, con

\[F=F(x)=-k x. \nonumber\]

Solución

Ya escribimos la ecuación del movimiento (Ecuación 2.3.4) y su solución general (Ecuación 2.3.5). La solución general se puede encontrar a través de la sustitución de exponenciales, como lo haremos en la Sección 8.1. Sin embargo, también podemos aprender algo útil al escribir la ecuación del movimiento en la forma (\ ref {fx}). Su solución, dada formalmente por la ecuación (\ ref {fxsoln}), puede calcularse explícitamente para nuestra fuerza como

\[\frac{m}{2}\left[v^{2}(x)-v_{0}^{2}\right]=\int_{x_{0}}^{x}\left(-k x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime}=-\frac{k}{2}\left[x^{2}-x_{0}^{2}\right] \label{harmosc} \]

lo que da

\[v(x)=\sqrt{v_{0}^{2}-\frac{k}{m}\left(x^{2}-x_{0}^{2}\right)} \nonumber\]

para\(v(x)\). Si bien\(x(t)\) y\(v(t)\) se obtienen más fácilmente de la solución dada en la Ecuación 2.3.5, esa solución no le dará\(v(x)\), y derivarla es complicado. Aquí lo conseguimos casi gratis. Además, como probablemente hayas señalado, la Ecuación\ ref {harmosc} relaciona la cinética con la energía potencial del oscilador armónico -un caso especial de conservación de energía, que discutiremos en la siguiente sección.