4.2: Conservación del Momentum

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En la Ecuación (4.1.1), ¿cuál es la fuerza total que actúa sobre todas las partículas? Bueno, esa es la suma de todas las fuerzas que las partículas ejercen unas sobre otras, más todas las fuerzas externas:\(F_{\text { total }}=\sum_{i} F_{\text { int }, i}+\sum_{i} F_{\text { ext }, i}\). Ahora la tercera ley del movimiento de Newton nos dice que las fuerzas internas vienen en pares opuestos, así que cuando las sumamos, todas cancelan, y la fuerza neta total que actúa sobre las partículas es igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas.Por lo tanto, mediante la Ecuación (4.1.1), el centro de masa de un sistema de partículas obedece a la segunda ley del movimiento de Newton. ¿Y el impulso del centro de masas? Al igual que la fuerza, el impulso total del sistema del sistema viene dado por la suma vectorial de los momentos de partícula individual:

\[P_{\text { total }}=\sum_{\alpha} \boldsymbol{p}_{\alpha}=\sum_{\alpha} m_{\alpha} \dot{r}_{\alpha}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum_{\alpha} m_{\alpha} r_{\alpha}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M r_{\mathrm{cm}}\]

por lo que el impulso total del sistema es igual al del centro de masa. Además, mientras se conserve la masa del sistema, podemos reescribir la Ecuación (4.1.1) como

\[F_{\text { total }}=\frac{\mathrm{d} P_{\text { total }}}{\mathrm{d} t} \label{ftotal}\]

No sólo el centro de masa de un sistema de partículas obedece a la segunda ley del movimiento de Newton, su impulso total también lo hace. Además, a diferencia del caso de una sola partícula, la Ecuación (\ ref {ftotal}) tiene una consecuencia importante para el caso de que no haya fuerza externa que actúe sobre el sistema. Para una partícula, eso simplemente significaría que el impulso no cambia: la primera ley de movimiento de Newton. Pero para múltiples partículas, la Ecuación (\ ref {ftotal}) nos dice que ninguna fuerza externa significa que el impulso total no cambia. Por lo tanto, hemos llegado a nuestra segunda ley de conservación:

Teorema 4.1 (Ley de conservación del impulso). Cuando ninguna fuerza externa actúa sobre un sistema de partículas, se conserva el momento total del sistema.

Derivamos la ley de conservación del impulso aplicando tanto la segunda como la tercera leyes del movimiento de Newton, por lo que al igual que la conservación de la energía, no es un resultado independiente, sino que se desprende de nuestros axiomas. Tenga en cuenta que la ley permite que los momentos de las partículas individuales en el sistema cambien, siempre y cuando su total permanezca igual; esto es lo que sucede cuando juegas al billar, y por qué se fija el número de bolas que rebotan en la cuna de un Newton.