5.7: Conservación del Momentum Angular

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Dado que el par es el análogo rotacional de la fuerza, y el momento angular es el del momento lineal, no sorprenderá que la segunda ley de movimiento de Newton tenga una contraparte rotacional que relacione el par neto con la derivada de tiempo del momento angular. Para ver que esto es cierto, simplemente calculamos esa derivada del tiempo:

\[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{L}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t} \times \boldsymbol{p}+\boldsymbol{r} \times \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{\tau} \label{consl}\]

porque\(\dot{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{p}=\boldsymbol{v} \times m \boldsymbol{v}=0\). Algunos textos incluso usan la ecuación\ ref {consl} como definición de torque y trabajan a partir de ahí. Tenga en cuenta que en el caso de que no haya par externo, llegamos a otra ley de conservación:

Teorema 5.3: Ley de conservación del momento angular

Cuando ningún par externo actúa sobre un objeto giratorio, se conserva su momento angular.

La conservación del momento angular es la razón por la que un aro rodante sigue rodando, y por qué equilibrar una bicicleta es relativamente fácil una vez que vas lo suficientemente rápido.

¿Qué pasa con las colecciones de partículas? Aquí las cosas son un poco más sutiles. Escribiendo\(\boldsymbol{L}=\Sigma_{i} \boldsymbol{L}_{i}\) y tomando de nuevo el derivado, llegamos a

\[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{L}}{\mathrm{d} t}=\sum_{i} \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{F}_{i}=\sum_{i} \tau_{i} \label{theorem}\]

Ahora la suma en el lado derecho de\ ref {teorema} incluye tanto los pares externos ejercidos sobre el sistema, como los pares internos ejercidos por las partículas entre sí. Cuando discutimos la conservación del impulso lineal, los momentos internos se cancelaron por pares debido a la tercera ley del movimiento de Newton. Para los pares esto no es necesariamente cierto, y necesitamos la condición adicional de que las fuerzas internas entre dos partículas actúen a lo largo de la línea que conecta esas partículas; entonces los pares internos son cero, y la Ecuación\ ref {consl} se mantiene para la colección también. En consecuencia, si el par externo neto es cero, el momento angular se conserva nuevamente.