6.3: Moción bajo la acción de una fuerza central

Una fuerza central es una fuerza que apunta a lo largo de la dirección radial (positiva o negativa)\(\boldsymbol{\hat{r}}\), y cuya magnitud depende únicamente de la distancia r al origen - así\(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=F(r) \hat{\boldsymbol{r}}\). Las fuerzas centrales se pueden definir tanto en dos como en tres dimensiones, con el concepto tridimensional de la distancia radial (al origen) y dirección (dirección de r creciente) completamente análogo al caso bidimensional. Dos ejemplos importantes de fuerzas centrales son la gravedad (general) newtoniana (2.2.2) y la fuerza Coulomb (2.2.4) entre dos objetos cargados. Si bien estas fuerzas son ejemplos tridimensionales, discutirlas aquí es apropiado, como lo demuestra el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

El movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central tiene lugar en un plano.

Prueba

Primero notamos que una fuerza central no puede ejercer ningún par sobre un objeto:

\[\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}=F(r)(\boldsymbol{r} \times \hat{\boldsymbol{r}})=0. \nonumber\]

En consecuencia, bajo la acción de una fuerza central, se conserva el momento angular. Además, tenemos

\[\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{L}= \boldsymbol{r} \cdot(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p})=0 \nonumber\]

y

\[\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{L}=\boldsymbol{v} \cdot(\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v})=0. \nonumber\]

Tanto el vector\(\boldsymbol{r}\) de posición como el vector de velocidad se encuentran\(\boldsymbol{v}\) así en el plano perpendicular a\(\boldsymbol{L}\). Como\(\boldsymbol{L}\) se conserva\(\boldsymbol{r}\) y se\(\boldsymbol{v}\) debe confinar al plano perpendicular a\(\boldsymbol{L}\) y a través del origen.

\(\square\)

Aplicando los resultados de la sección anterior al movimiento de una sola partícula bajo la acción de una fuerza central, encontramos (para el plano en el que se mueve la partícula):

\[F(r)=F_{r}=m \ddot{r}-m r \dot{\theta}^{2}=m \ddot{r}-\frac{L^{2}}{m r^{3}} \label{cntrlforce}\]

donde usamos que para una sola partícula, la magnitud del momento angular viene dada por\(L=m r^{2} \dot{\theta}\). La reescritura de la ecuación\ ref {cntrlforce} da

\[m \ddot{r}=F(r)+\frac{L^{2}}{m r^{3}}=F(r)+F_{\mathrm{cf}}\]

donde\(F_{\mathrm{cf}}\) se conoce como la fuerza centrífuga, ya que tiende a alejar nuestra partícula del origen. Podemos escribir la fuerza centrífuga como la derivada de un potencial:

\[F_{\mathrm{cf}}=-\frac{\mathrm{d} U_{\mathrm{cf}}}{\mathrm{d} r}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}\right)\]

Escribiendo la fuerza original como derivada de un potencial\(U(r)\) también, podemos escribir una ecuación para la energía total del sistema:

\[E=K+U=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}+U(r)+\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}\]

Tanto para la gravedad newtoniana como para la fuerza Coulomb, el potencial puede escribirse como\(U(r)=-\alpha / r\), dónde\(\alpha=G m_{1} m_{2}\) para la gravedad y\(\alpha=-k_{\mathrm{e}} q_{1} q_{2}\) para la ley de Coulomb. Luego podemos reescribir la ecuación de energía como una ecuación diferencial para\(r (t)\):

\[\frac{1}{2} m\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}\right)^{2}=E+\frac{\alpha}{r}-\frac{L^{2}}{2 m r^{2}} \label{rtdiff}\]

Para describir el movimiento de la partícula, en lugar de especificar\(r (t)\) y\(\theta(t)\), nos gustaría\(r\) expresarlo en función de\(\theta\). Podemos reescribir la ecuación\ ref {rtdiff} a una ecuación diferencial para\(r (\theta)\) invocando la regla de la cadena:

\[\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta}\right)^{2}\left(\frac{L}{m r^{2}}\right)^{2}\]

donde volvimos a usar eso\(L=m r^{2} \dot{\theta}\). La ecuación\ ref {rtdiff} ahora se convierte en:

\[\left(\frac{1}{r^{2}} \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta}\right)^{2}=-\frac{1}{r^{2}}+\frac{2 m \alpha}{L^{2} r}+\frac{2 m E}{L^{2}} \label{littlesimp}\]

Podemos simplificar la Ecuación\ ref {littlesimp} aún más introduciendo una nueva variable,\(z=\frac{1}{r}-m \alpha / L^{2}\). También introducimos una constante adimensional\(\varepsilon=\sqrt{1+2 E L^{2} / m \alpha^{2}}\) y una longitud inversa\(q=m \alpha \varepsilon / L^{2}\). Con estas sustituciones, nuestra ecuación se convierte en:

\[\left(\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} \theta}\right)^{2}=-z^{2}+q^{2} \label{verysimp}\]

Podemos resolver la Ecuación\ ref {verysimp} por separación de variables:

\[\int \frac{1}{\sqrt{q^{2}-z^{2}}} \mathrm{d} z=\int \mathrm{d} \theta \Rightarrow \arccos \left(\frac{z}{q}\right)=\theta-\theta_{0}\]

Tomando el ángulo de referencia\(\theta_0\) (nuestra constante de integración) para ser cero, encontramos\(z(\theta) = q \cos(\theta)\). Al traducir de nuevo a\(r (\theta)\), obtenemos una solución bastante simple:

\[r(\theta)=\frac{L^{2}}{m \alpha} \frac{1}{1+\varepsilon \cos \theta} \label{soln}\]

Cómo se ve realmente la solución\ ref {soln} (la órbita de nuestra partícula bajo la acción de la fuerza central), depende del valor de nuestra variable adimensional\(\varepsilon\), conocida como la excentricidad de la órbita. Para averiguar qué órbitas podemos obtener, traducimos la Ecuación\ ref {soln} de nuevo a coordenadas cartesianas, usando\(x=r \cos \theta\). Definiendo\(k=L^{2} / m \alpha\), obtenemos\(k=r+\varepsilon r \cos \theta=r+\varepsilon x\), o\(r=k-\varepsilon x\). Ahora usando\(r^{2}=x^{2}+y^{2}\), obtenemos

\[x^{2}+y^{2}=(k-\varepsilon x)^{2}=k^{2}-2 \varepsilon k x+\varepsilon^{2} x^{2} \label{final}\]

Ahora podemos distinguir cuatro posibilidades:

1. \(\varepsilon=0\): En este caso, la Ecuación\ ref {final} se convierte\(x^2 + y^2 = k^2\), por lo que nuestra órbita es un círculo con el origen en su centro.
2. \(0<\varepsilon<1\): Para este caso, con algo de álgebra, podemos reescribir la Ecuación\ ref {final} como\[\left(\left(x-x_{0}\right) / a\right)^{2}+(y / b)^{2}=1, \nonumber\] dónde\(a=k /\left(1-\varepsilon^{2}\right), x_{0}=-\varepsilon a\), y\(b=k / \sqrt{1-\varepsilon^{2}}\). Estas órbitas son elipses, con el centro de la elipse en\(\left(x_{0}, 0\right)\), semieje mayor\(a\), semieje\(b\) menor y distancia focal\(f=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=k \varepsilon /\left(1-\varepsilon^{2}\right)=-x_{0}\). Uno de los focos se encuentra así en el origen.
3. \(\varepsilon=1\): Ecuación\ ref {final} ahora se convierte\(y^{2}=k^{2}-2 k x\), que es la ecuación para una parábola (que se extiende a lo largo del eje x negativo) con su 'top' (en este caso, punto más a la derecha) en\((k/2, 0)\) y distancia focal k/2, por lo que el foco (único) se localiza nuevamente en el origen.
4. \(\varepsilon>1\): Este caso nuevamente requiere algo de álgebra para reescribir la Ecuación\ ref {final} en una forma estándar reconocible:\(\left(\left(x-x_{0}\right) / a\right)^{2}-(y / b)^{2}=1\), donde\(a=k /\left(\varepsilon^{2}-1\right), x_{0}=\varepsilon a\) y\(b=k / \sqrt{\varepsilon^{2}-1}\). Estas órbitas son hipérbola, cruzando el eje x en\((x_0, 0)\), y acercándose a asíntotas\(y=\pm b((x / a)-\varepsilon)\), que se encuentran en\((x_0 + a, 0)\). La distancia focal es ahora\(f=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=k \varepsilon /\left(\varepsilon^{2}-1\right)=\varepsilon a=x_{0}+a\), por lo que el foco de la hipérbola también se localiza en el origen.

En matemáticas, estos cuatro posibles tipos de órbitas se conocen como secciones cónicas: las curvas se pueden obtener intersecando un cono con un plano. Específicamente, cuando la fuerza central es la gravedad, como en el sistema solar (donde el sol es mucho más pesado que todo lo demás combinado que a una buena aproximación podemos describir órbitas como determinadas solo por el campo gravitacional del sol), los cuatro casos enumerados anteriormente son las únicas órbitas posibles los cuerpos pueden tener. Los planetas, planetas enanos, asteroides y muchos objetos menores en nuestro sistema solar siguen órbitas elípticas alrededor del sol, aunque con diferente excentricidad ¹ - La Tierra es casi cero (0.017), pero la de Marte es significativamente mayor (0.09), y de Plutón mucho más alta aún (0.25). Cometas, por otro lado, típicamente órbitas parabólicas o hiperbólicas. Naves espaciales como las sondas Voyager y New Horizons a menudo se colocan en trayectorias pasadas planetas que no son su destino final, para captar (o perder) velocidad a través de una asistencia gravitacional (en la que toman un poco de impulso de la órbita del planeta); esos caminos más allá de los planetas son típicamente hipérbola . Conseguir que una nave espacial orbita otro planeta (es decir, en una órbita ligada, tan elíptica) es en realidad mucho más difícil, pero nuevamente, la órbita resultante es descrita por las matemáticas presentadas anteriormente.

¹ Consulte el cuadro B.4 para obtener datos sobre las órbitas de todos los planetas y varias de sus lunas.