9.4: Superposición de Ondas

La ecuación de onda 9.2.6 es lineal en la función que nos interesa, el desplazamiento\(u(x,t)\). Esta simple afirmación matemática tiene consecuencias importantes, porque significa que si conocemos algún conjunto de soluciones, podemos crear más soluciones haciendo combinaciones lineales de ellas, así que si\(u_1 (x,t)\) y\(u_2 (x,t)\) son soluciones, entonces también lo son\(au_1(x,t)+bu_2(x,t)\) para cualquier elección de\(a\) y\(b\). En física, esta propiedad útil de las ecuaciones diferenciales lineales se conoce como el principio de superposición. Gracias a este principio, podemos estudiar cómo diferentes ondas interactúan entre sí sin tener que hacer (mucho) matemáticas adicionales.

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos paquetes de ondas interactuantes. La secuencia de imágenes muestra cuatro instantáneas. La ola azul viaja hacia la derecha, la roja hacia la izquierda (a). Cuando las ondas se superponen, el desplazamiento total de la partícula viene dado por la suma de los desplazamientos debidos a ambas ondas, mostrados en verde. Esto puede llevar tanto a la interferencia constructiva (b), cuando las dos ondas están en fase, como a la interferencia destructiva (c), cuando sus fases son opuestas. Las olas mismas no se ven afectadas por la interacción y después viajan como si nada hubiera pasado (d).

Para ilustrar, consideremos dos ondas unidimensionales que viajan en direcciones opuestas, Figura\(\PageIndex{1}\). Mientras las ondas no se superpongan, la oscilación de cualquier partícula dada se debe a una sola onda, y no hay interacción. Sin embargo, tan pronto como las ondas comienzan a superponerse, las oscilaciones se suman, lo que lleva a la interferencia. En algunos puntos, las dos oscilaciones estarán en fase, resultando en una amplitud de oscilación mucho mayor, a la que llamamos interferencia constructiva (Figura\(\PageIndex{1b}\)). En otros puntos, las dos oscilaciones estarán desfasadas, dando como resultado una amplitud de oscilación mucho menor, o incluso desaparecida, a la que llamamos interferencia destructiva (Figura\(\PageIndex{1c}\)). No obstante, las ondas mismas permanecen inafectadas, y se transmiten directamente entre sí, continuando su camino como si nada hubiera pasado (Figura\(\PageIndex{1d}\)).

Las olas que llegan al final de una cuerda, o borde de un estanque, o cualquier tipo de límite, no simplemente desaparecerán. Recuerda, las olas llevan energía, y esa energía se conserva, por lo que tiene que ir a algún lado una vez que la ola alcanza el límite. Si no hay nada en el límite, las olas se reflejan de nuevo en el material. Esto sucede en dos casos: un límite (perfectamente) fijo y un límite (perfectamente) libre; en otros casos, parte de la energía puede transmitirse al material del otro lado del límite (comenzando allí una nueva ola), mientras que el resto se refleja de nuevo en el material original con menos energía, lo que resulta en una amplitud de onda más pequeña. Una onda reflejada viaja en dirección opuesta a la onda original, por lo que puede interferir consigo misma. De hecho, esta interferencia es un punto crucial para poder cumplir con las condiciones límite. Un límite fijo no puede moverse, por lo que debe haber interferencia destructiva manteniendo la amplitud allí cero en todo momento, por lo que se deduce que una onda que se refleja en un límite fijo sufre un desplazamiento de\(\pi\) fase. Los límites libres por otro lado son perfectamente libres para moverse, por lo que no hay nada que le impida alcanzar el desplazamiento máximo que se puede lograr mediante la interferencia constructiva, y la onda se refleja sin un cambio de fase.

Si pones límites en ambos extremos de una cuerda, la ola sigue reflejándose de un lado a otro, interfiriendo continuamente consigo misma. Para encontrar la forma resultante de la cuerda, vamos a usar el principio de superposición para una onda sinusoidal simple. Vamos

\[u_{1}(x, t)=A \cos (k x-\omega t) \nonumber\]

ser la parte de la ola que viaja a la derecha, y

\[u_{2}(x, t)=-A \cos (k x+\omega t) \nonumber\]

ser la parte que viaja a la izquierda. Observe las diferencias: las olas tienen signos opuestos para sus velocidades, y signos opuestos para sus desplazamientos, estos últimos por el desplazamiento de\(π\) fase (también podríamos escribir\(u_{2}(x, t)=A \cos (k x+\omega t+\pi)\)). La forma de la cuerda es ahora simplemente la suma de estas dos ondas:

\[\begin{align} u(x, t) &=u_{1}(x, t)+u_{2}(x, t) \\[4pt] &=A[\cos (k x-\omega t)-\cos (k x+\omega t)] \\[4pt] &=2 A \sin (k x) \sin (\omega t) \label{9.16} \end{align}\]

La ecuación\ ref {9.16} nos dice que para una onda autointerferente, la onda ya no se mueve; en cambio, cada punto simplemente oscila con la frecuencia\(\omega\) a una amplitud dependiente de la posición\(2A\sin(kx)\). Llamamos a esa onda onda estacionaria. Las ondas estacionarias son muy comunes: obtendrás una cada vez que toques la cuerda de una guitarra o violín. Naturalmente, no están restringidos a sistemas unidimensionales: la piel de un tambor, constreñida en el borde del tambor, se pone en una onda estacionaria cada vez que alguien lo golpea.

La ecuación\ ref {9.16} describe la forma de una onda estacionaria en una cuerda sujeta en ambos extremos. Si la cadena tiene longitud\(L\), entonces por la naturaleza de las condiciones de contorno, debemos tener\(u(0,t) = u(L,t) = 0\) para todos\(t\). La primera condición sigue de forma gratuita (que por supuesto solo se debe a una buena elección de coordenadas), pero la segunda pone una restricción a nuestra ola. El desplazamiento solo puede ser cero en todo momento si la amplitud es idéntica a cero, por lo que exigimos que

\[\sin(kL) = 0\]

o

\[L = \frac{m \pi}{k} = \dfrac{m \lambda}{2}\]

donde\(m\) es cualquier entero positivo. Hay así infinitamente muchas ondas estacionarias permitidas, pero se caracterizan por un número discreto. Las ondas permitidas se conocen como modos, y el número asociado\(m\) es el número de modo. La onda más simple, con el menor valor posible\(m = 1\), se conoce como el modo fundamental. En el modo fundamental, la oscilación de la cadena tiene amplitud distinta de cero en todas partes pero en los extremos fijos; para los modos superiores, también hay puntos intermedios que tienen amplitud cero, los cuales se conocen como nodos; los puntos donde la amplitud es máxima a veces se denominan antinodos.

Un espectro discreto de soluciones permitidas, caracterizado por números enteros, no solo aparece en ondas mecánicas estacionarias, sino que también es un aspecto fundamental de la mecánica cuántica.