9.3: Solución de la Ecuación de Onda Unidimensional

La Ecuación 9.2.6 de onda unidimensional tiene una solución sorprendentemente genérica, debido a que contiene segundas derivadas tanto en el espacio como en el tiempo. Como puede ver fácilmente por inspección, la función\(q(x, t)=x-v_{\mathrm{w}} t\) es una solución, al igual que lo es la misma función con un signo más en lugar de un signo menos. Estas funciones representan ondas que viajan hacia la derecha (menos) o hacia la izquierda (más) a velocidad\(v_w\). Sin embargo, la forma de la onda no importa - cualquier función\(F(q)=F\left(x-v_{\mathrm{w}} t\right)\) es una solución de 9.2.6, como lo es cualquier función\(G\left(x+v_{\mathrm{w}} t\right)\), y la solución general es la suma de estos:

\[u(x, t)=F\left(x-v_{\mathrm{w}} t\right)+G\left(x+v_{\mathrm{w}} t\right)\]

Para encontrar una solución específica, necesitamos mirar las condiciones iniciales de la ola, es decir, las condiciones en\(t = 0\). Debido a que la ecuación de onda es de segundo orden en el tiempo, necesitamos especificar tanto el desplazamiento inicial como la velocidad inicial del desplazamiento, que pueden ser funciones de la posición. Para el caso más general escribimos:

\[\begin{array}{l}{u(x, 0)=u_{0}(x)} \\ {\dot{u}(x, 0)=v_{0}(x)}\end{array}\]

La solución resultante de la ecuación de onda unidimensional se conoce como la ecuación de d'Alembert:

\[u(x, t)=\frac{1}{2}\left(u_{0}\left(x-v_{\mathrm{w}} t\right)+u_{0}\left(x+v_{\mathrm{w}} t\right)\right)+\frac{1}{2 v_{\mathrm{w}}} \int_{x-v_{\mathrm{w}} t}^{x+v_{\mathrm{w}} t} v(y) \mathrm{d} y\]