11.2: Derivación de las Transformaciones de Lorentz
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En lugar de la aceleración constante, en la teoría de la relatividad tenemos una velocidad constante de la luz en cada marco de referencia inercial. Eso significa que las reglas de transformación (11.1.1) cambian. Una cosa que no cambiará es que las direcciones espaciales en las que no hay movimiento son medidas de la misma manera por todos los observadores (nuestros observadores son después de todo tanto estacionarios en las\(z\) direcciones\(y\) y), por lo que solo consideraremos la\(x\) dirección, y el tiempo. Para tratar el espacio y el tiempo en igualdad de condiciones, por supuesto, deben tener las mismas dimensiones. Afortunadamente, la única constante universal en la relatividad especial, la velocidad de la luz\(c\), convierte un tiempo en un espacio (o viceversa), por lo que consideraremos una transformación sobre la posición\(x\) y el 'tiempo'\(ct\). Una segunda cosa que no va a cambiar es que las transformaciones tienen que ser lineales. Si no lo fueran, violarían el principio de relatividad, porque entonces la longitud de un objeto (o de un intervalo de tiempo) dependería de la elección de origen de nuestros marcos de coordenadas\(S\) y\(S^\prime\).
Hendrik Antoon Lorentz
1853-1928) fue un físico holandés, considerado ampliamente como el principal físico teórico de su tiempo. A los 24 años, Lorentz se convirtió en profesor en la universidad de Leiden donde inicialmente trabajó en electromagnetismo. Brindó la explicación teórica del efecto Zeeman recientemente descubierto (cuántico-mecánico), por el que él y Zee- man compartieron el premio Nobel en 1902. Alrededor de 1900, Lorentz desarrolló el conjunto de transformaciones que ahora lleva su nombre en un intento de interpretar los resultados del experimento de Michelson-Morley. A medida que Einstein construyó la teoría de la relatividad sobre las herramientas matemáticas proporcionadas por Lorentz, originalmente se la denominó la teoría de Lorentz-Einstein; el propio Lorentz rápidamente apreció las ideas de Einstein y consistentemente se refirió al 'principio de relatividad' de Einstein. Lorentz renunció a su cargo en Leiden en 1912 para tener más tiempo para investigar, trasladándose al museo Teylers en Haarlem (todavía abierto hoy); el sucesor de Lorentz en Leiden, Paul Ehrenfest, fundó allí un instituto de física teórica que ahora se conoce como el instituto Lorentz. De 1918 a 1926 Lorentz enfocó sus esfuerzos en la ingeniería marítima, como presidente del comité encargado de diseñar el Afsluitdijk, un dique de 32 km que cierra el antiguo Zuiderzee en el norte de los Países Bajos. Lorentz resolvió numéricamente a mano los diversos problemas hidrodinámicos necesarios, uno de los primeros problemas de ingeniería abordados de esta manera; al terminar la construcción, resultó que sus cálculos habían sido muy precisos. Uno de los dos juegos de esclusas en el dique lleva su nombre.
Para una transformación lineal general, escribimos:
\ [
\ left (\ begin {array} {c}
{x^ {\ prime}}\\
{c t^ {\ prime}}
\ end {array}\ right) =A\ left (\ begin {array} {c}
{x}\\
{c t}
\ end {array}\ right),\ quad\ text {con}\ quad A=\ left (\ begin {array} {cc}
a_ {11}} & {a_ {12}}\\
{a_ {21}} & {a_ {22}}
\ end {array}\ label {eq:1}\ right).
\]
Queremos que nuestra transformación sea invertible, así\(\det(A)\neq 0\) y
\ [\ left (\ begin {array} {c}
{x}\\
{c t}
\ end {array}\ right) =\ frac {1} {\ operatorname {det} (A)}\ left (\ begin {array} {cc}
{a_ {22}} & {-a_ {12}}\\
{-a_ {21}} & {a_ {11}
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
{x^ {\ prime}}\\
{c t^ {\ prime}}
\ end {array}\ label {eq:2}\ right).\]
Podemos encontrar 1 los coeficientes de\(A\) simplemente exigiendo que\(S^\prime\) se mueva relativo a\(S\) a velocidad constante\(u\), y el valor de\(c\) es el mismo en\(S\) y\(S^\prime\). Para comenzar con la primera condición, considere un punto estacionario en\(S^\prime\), entonces\(x^\prime=b^\prime\). De (\ ref {eq:1}) tenemos\(x^\prime = a_{11}x + a_{12}ct\), o\(x = (x^\prime - a_{12}ct)/a_{11}\). Por otro lado, en\(S\) este punto se mueve a velocidad\(u\), por lo que el mismo punto se describe mediante una ecuación de la forma\(x=ut+x_0\). Por lo tanto, tenemos\(-a_{12}c/a_{11}=u\). Naturalmente, también podemos considerar un punto estacionario en\(S\),\(x=b=(a_{22}x^\prime-a_{12}ct^\prime/\det(A)\), que se mueve a velocidad\(-u\) adentro\(S^\prime\), así\(x^\prime = -ut^\prime+x_0^\prime\), que da\(-u = a_{12}c/a_{22}\). De ello se deduce\(a_{22} = -a_{12}c/u=a_{11}\), y podemos reescribir nuestras transformaciones (\ ref {eq:1}) y (\ ref {eq:2}) como:
\ [\ begin {ecuación}\ begin {alineado}\ label {eq:3}
x^ {\ prime} &=a_ {11}\ izquierda (x+\ frac {a_ {12}} {a_ {11}} c t\ derecha) =a_ {11} (x-u t)\
c t^ {\ prime} &=a_ {21} x+a_ {22} c t=a_ {11}\ izquierda (\ frac {a_ {21}} {a_ {11}} x+c t\ derecha)\\
x &=\ frac {a_ {11}} {\ nombreoperador {det} (A)}\ izquierda (x^ { \ prime} +u t^ {\ prime}\ derecha)\
c t &=\ frac {a_ {11}} {\ nombre del operador {det} (A)}\ izquierda (-\ frac {a_ {21}} {a_ {11}} x^ {\ prime} +c t^ {\ prime}\ derecha)
\ end {alineado}\ end {ecuación}\]
Tenga en cuenta que con\(a_{11} =1\) y\(a_{21} =0\), estas son simplemente las transformaciones galileanas nuevamente. Vamos a permitir\(a_{21} \neq 0\) acomodar para el postulado de luz. Para ver cómo funciona eso, primero calculamos la velocidad de un objeto en movimiento en cualquiera de los marcos de referencia, y los relacionamos entre sí:
\ [
v^ {\ prime}\ equiv\ frac {\ mathrm {d} x^ {\ prime}} {\ mathrm {d} t^ {\ prime}} =\ frac {a_ {11}\ mathrm {d} (x-u t)} {a_ {11}\ mathrm {d}\ left (\ left (a_ {21}/a_ {11}\ derecha) (x/c) +t\ derecha)} =\ frac {\ mathrm {d} x-u\ mathrm {d} t} {\ izquierda (a_ {21}/c a_ {11}\ derecha)\ mathrm {d} x+\ mathrm {d} t} =\ frac {\ mathrm {d} x/\ mathrm {d} t-u} {1+\ izquierda (a_ {21}/c a_ {11}\ derecha)\ mathrm {d} x/\ mathrm {d} t} =\ frac {v-u} {1+\ izquierda (a_ {21}/a_ {11}\ derecha) (v/c)}
\ label {eq:4}\]
donde usamos\(v \equiv dx/dt\). Inversamente, tenemos:
\[v=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=\frac{v^{\prime}+u}{1-\left(a_{21} / a_{11}\right)\left(v^{\prime} / c\right)}\]
Como dice el postulado ligero, no importa si medimos\(c\) en\(S\) o\(S^\prime\), siempre obtenemos el mismo número. Entonces para la luz, deberíamos tener\(v^\prime = c =v\), que podemos usar en la ecuación (\ ref {eq:4}) para determinar\(a_{21}/a_{11}\):
\ [\ begin {ecuación}\ begin {alineado}
&c=\ frac {c-u} {1+\ left (a_ {21}/a_ {11}\ right)}\ quad\ text {so}\ quad\ frac {a_ {21}} {a_ {11}} =-\ frac {u} {c}
\ end {alineado}\ end {ecuación}.\]
Las transformaciones ahora se convierten en:
\ [\ begin {ecuación}\ begin {alineado}
x^ {\ prime} &=a_ {11} (x-u t)\\
c t^ {\ prime} &=a_ {11}\ izquierda (c t-\ frac {u x} {c}\ derecha)\\
x &=\ frac {1} {a_ {11}}\ frac {1} {1-u^ {2}/c^ {2}}\ izquierda (x^ {\ prime} +u t^ {\ prime}\ derecha)\\
c t &=\ frac {1} {a_ {11}}\ frac {1} {1} {1 -u^ {2}/c^ {2}}\ izquierda (c t^ {\ prime} +\ frac {u x^ {\ prime}} {c}\ derecha).
\ final {alineado}\ etiqueta {eq:5}\ final {ecuación}\]
En ecuaciones (\(\ref{eq:5}\)) utilizamos\( \det(A)=a^2_{11}(1-u^2/c^2)\). Nos quedamos con un parámetro indeterminado, el valor de\(a_{11}\). Lo usaremos para hacer simétrica la transformación -después de todo, podríamos haber comenzado con\(S^\prime\) como estacionarios y\(S\) como móviles (con velocidad\(-u\)), y deberíamos obtener las mismas transformaciones, a excepción del signo de\(u\). Al igualar el prefactor en las ecuaciones (\(\ref{eq:5}a\)) y (\(\ref{eq:5}c\)), encontramos que\(a_{11} = \gamma(u)\), con\(\gamma(u)\) otra vez definido como
\[\gamma(u)=\frac{1}{\sqrt{1-(u / c)^{2}}}.\]
Tenga en cuenta que\(\gamma(u)=\gamma(-u)\), de acuerdo con la noción anterior de que no importa si está\(S\) viendo\(S^\prime\) moverse en\(u\), o en\(S^\prime\) ver\(S\) moverse en\(-u\). Ya hemos llegado a las transformaciones de Lorentz:
\ [\ start {ecuación}\ begin {alineado}
x^ {\ prime} &=\ gamma (u) (x-u t)\\
c t^ {\ prime} &=\ gamma (u)\ izquierda (c t-\ frac {u x} {c}\ derecha)\\
x &=\ gamma (u)\ izquierda (x^ {\ prime} +u t^ {\ prime} derecha)\\
c t &=\ gamma (u)\ izquierda (c t^ {\ prime} +\ frac {u x^ {\ prime}} {c}\ derecha)
\ final {alineado}\ etiqueta {eq:6}\ final {ecuación}\]
Las transformaciones de Lorentz transforman tanto el espacio como el tiempo. En consecuencia, nuestros dos observadores no solo miden el espacio de manera diferente, como en el sistema clásico (recuerda las coordenadas estacionarias y comoving), ¡sino que también miden el tiempo de manera diferente! Para velocidades pequeñas,\(\gamma(u)\) está (muy) cerca de una y el efecto insignificante, pero para altas velocidades ciertamente no lo es. Como ya hemos visto en el apartado anterior basado en el argumento del tren, y vuelve a ver a continuación, estas diferentes mediciones de tiempo conducen a resultados potencialmente confusos: los dos observadores ya no están de acuerdo sobre qué eventos son simultáneos, cuánto tiempo es un palo medidor, o cuánto tiempo tardó en viajar de un lugar a otro.
Antes de ir a las aplicaciones, tenemos algunas observaciones finales sobre las transformaciones de Lorentz. Primero, nos esforzamos por hacer que la transformación sea simétrica entre ir de\(S\) a\(S^\prime\) y viceversa. Sin embargo, podemos hacer más. Dado que el tiempo y el espacio ahora se transforman y se mezclan en la transformación, ya no es apropiado separarlos; en cambio, consideraremos un sistema combinado de cuatro dimensiones conocido como espacio-tiempo. Como físicos propios, sin embargo no debemos comparar manzanas y naranjas, ni el tiempo y el espacio. Ya convertimos la coordenada de tiempo en una coordenada de espacio multiplicándola por\(c\). En las ecuaciones (\(\ref{eq:6}a\)) y (\(\ref{eq:6}c\)) cancelamos eso\(c\) frente a\(t\) con a\(c\) en el denominador, pero es más limpio volver a ponerlo, así conseguimos un sentido aún mejor de la igualdad del espacio y el tiempo en la transformación de Lorentz:
\ [\ comenzar {ecuación}\ comenzar {alineado}
x^ {\ prime} &=\ gamma (u) (x- (u/c) c t)\
c t^ {\ prime} &=\ gamma (u) (c t- (u/c) x)
\ final {alineado}\ etiqueta {eq:7}\ final {ecuación}\]
Obsérvese que en las ecuaciones (\(\ref{eq:7}\)) la velocidad\(u\) solo aparece como una fracción de\(c\): solo tenemos expresiones de la forma\(u/c\), haciendo que todos los coeficientes de nuestras transformaciones sean agradablemente adimensionales.
Segundo, todas las ecuaciones en esta sección son para una transformación entre un cuadro estacionario y uno que se mueve en la\(x\) dirección positiva con la velocidad\(u\). Como en principio somos libres de elegir nuestras coordenadas, siempre podemos volver a etiquetar o construir nuestros ejes para que coincidan con esta configuración. En la práctica, eso puede no ser siempre útil, por lo que también podríamos considerar el movimiento en una dirección diferente. Por supuesto, moverse en la\(z\) dirección\(y\) o simplemente hace que esos ejes se intercambien con el\(x\) eje considerado aquí, por lo que no nos molestaremos en anotar explícitamente esas transformaciones. También podemos anotar la transformación para el movimiento en una dirección general\(u\):
\ [\ begin {ecuación}\ begin {array} {l}
{x^ {\ prime} =x+ (\ gamma (u) -1)\ frac {u\ cdot x} {u\ cdot u} u-\ frac {\ gamma (u)} {c} u c t}\\
{c t^ {\ prime} =\ gamma (u)\ izquierda (c t-\ frac {u\ cdot x} {c}\ derecha)}
\ end {array}\ end {ecuación}\]
donde\(u=|\mathbf{u}|\) esta la velocidad del marco en movimiento, y\(\mathbf{x} = (x,y,z)\).
Por último, observamos que la colección de transformaciones de Lorentz en la\(x\) dirección 2 forman un grupo bajo composición. Si un sistema\(S^\prime\) se mueve con respecto a\(S\) la velocidad\(u\), y\(S^{\prime\prime}\) se mueve\(S^\prime\) con respecto a con la velocidad\(v\), entonces puedes hacer una transformación de Lorentz desde\(S^\prime\) y\(S\)\(S^\prime\) hacia\(S^{\prime\prime}\), pero también desde\(S\) hasta \(S^{\prime\prime}\)directamente 3. Como puedes comprobar por ti mismo (Problema 11.1), la transformación de\(s\) a\(s^{\prime\prime}\) es de hecho otra transformación de Lorentz. La velocidad de\(S^{\prime\prime}\) con respecto a no\(S\) es otra vez\(u+v\), sino\((u+v)/(1+uv/c^2)\), como lo da la ecuación relativista de adición de velocidad (11.14) derivada a continuación.
1 La derivación que sigue no es matemáticamente difícil (todas estas son ecuaciones lineales, después de todo), sino que contiene un número bastante grande de pasos. La forma más fácil de rodearlos es tomar un trozo de papel y hacerlos usted mismo.
2 Estas transformaciones en una dirección dada a veces también se denominan potenciadores de Lorentz.
3 Piense, por ejemplo,\(S\) como una plataforma estacionaria,\(S^\prime\) como un tren en movimiento, y\(S^{\prime\prime}\) como un tren de juguete en el tren en movimiento.