11.4: Rapidez y transformaciones repetidas de Lorentz

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Como se afirma al final de la sección 11.2, la composición de dos transformaciones de Lorentz es nuevamente una transformación de Lorentz, con un impulso de velocidad dado por la ecuación de 'adición relativista' (11.3.1) (se le pide que demuestre esto en el problema 11.1). Por supuesto, se podría repetir este proceso para transformaciones sucesivas, pero la adición repetida de velocidades conduce rápidamente a expresiones poco prácticas. También se podría investigar si la combinación de una transformación de Lorentz en la\(x\) dirección y otra en la\(y\) dirección vuelve a dar una transformación Lorentz. La respuesta es, en general, no: es la combinación de una transformación Lorentz y una rotación. En cierto sentido, también podemos considerar las transformaciones de Lorentz como 'rotaciones' en espacio-tiempo (4-dimensional). Discutiremos el espacio-tiempo con más detalle en las siguientes dos secciones. Aquí, trabajaremos una forma diferente de escribir las transformaciones de Lorentz que muestre su relación con las rotaciones. Como bono, nos permitirá calcular fácilmente la velocidad de\(n\) la transformación de Lorentz (partiendo del descanso, todo en la\(x\) dirección positiva).

Escribamos nuevamente la transformación de Lorentz como matriz. Usando el\(\gamma(u)\) factor e introduciendo\(\beta(u)=u/c\), tenemos

\ [\ begin {ecuación}\ left (\ begin {array} {c}
{x}\\
{c t}
\ end {array}\ right) =\ gamma (u)\ left (\ begin {array} {cc}
{1} & {\ beta}\\
{\ beta} & {1}
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {c}
{x^\ prime}}\\
{c t^ {\ prime}}
\ end {array}\ right),\ label {eq:1}\ end {ecuación}\]

nuevamente ilustrando bellamente la simetría entre el tiempo y el espacio. Ahora definimos ¹ la rapidez\(\phi\) por

\[\tanh (\phi)=\beta(u)=\frac{u}{c}.\]

Entonces tenemos

\[\gamma(u)=\frac{1}{\sqrt{1-\beta(u)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh ^{2} \phi}}=\cosh \phi,\]

\[\gamma(u) \beta(u)=\frac{\beta(u)}{\sqrt{1-\beta(u)^{2}}}=\frac{\tanh \phi}{\sqrt{1-\tanh ^{2} \phi}}=\sinh \phi.\]

Sustituyendo estas expresiones de nuevo en las transformaciones de Lorentz (\(\ref{eq:1}\)), obtenemos

\ [\ left (\ begin {array} {c}
{x}\\
{c t}
\ end {array}\ derecha) =\ left (\ begin {array} {cc}
{\ cosh\ phi} & {\ sinh\ phi}\\
{\ sinh\ phi} & {\ cosh\ phi}
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
x^ {\ prime}}\\
{c t^ {\ prime}}
\ end {array}\ derecha)\]

que se asemeja mucho a la expresión de una rotación.

De igual manera podemos reescribir la ecuación para la adición de velocidad en términos de la rapidez. Supongamos que queremos sumar velocidades\(u\) y\(v\), dejar que la velocidad resultante sea\(w\), entonces:

\[\tanh \left(\phi_{w}\right)=\frac{w}{c}=\frac{u / c+v / c}{1+u v / c^{2}}=\frac{\beta_{u}+\beta_{v}}{1+\beta_{u} \beta_{v}}=\frac{\tanh \left(\phi_{u}\right)+\tanh \left(\phi_{v}\right)}{1+\tanh \left(\phi_{u}\right) \tanh \left(\phi_{v}\right)}=\tanh \left(\phi_{u}+\phi_{v}\right)\]

(en el problema 11.9 se llega a probar la última igualdad). Así encontramos una regla de adición muy simple para las rapididades:

\[\phi_w=\phi_u+\phi_v.\label{eq:2}\]

Supongamos ahora que tenemos un sistema de referencia (estacionario)\(S\), un sistema\(S^\prime\) que se mueve con velocidad\(u\) (y rapidez\(\phi\)) con respecto a\(S\), un sistema\(S^{\prime\prime}\) que se mueve con velocidad\(u\) con respecto a\(S^\prime\), y así sucesivamente. Por equation (\(\ref{eq:2}\)), el sistema\(S^{(n)^\prime}\) luego se mueve con rapidez\(\phi_n=n\phi\) con respecto a\(S\). Para encontrar la velocidad relativa\(u_n\) a la que\(S^{(n)^\prime}\) se mueve\(S\), invertimos la definición de la rapidez, que nos da

\[\phi=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right),\]

por lo que\(u_n\) se da por

\[u_{n}=\frac{1-\left(\frac{1-u / c}{1+u / c}\right)^{n}}{1+\left(\frac{1-u / c}{1+u / c}\right)^{n}} c.\label{eq:3}\]

Tenga en cuenta que equation (\(\ref{eq:3}\)) proporciona otra prueba de la afirmación de que ningún objeto inercial puede moverse a la velocidad de la luz: para valores arbitrarios grandes de\(n,u_n\) restos menores que\(c\), así que no importa cuántos potenciadores de velocidad le des a tu partícula masiva, nunca podrás hacer que se mueva a la velocidad de ligero, y mucho menos superar esa velocidad.

¹ Si no estás familiarizado con las funciones hipergeométricas: se definen como las funciones trigonométricas como combinaciones de potencias de\(e\), excepto que bajamos el número complejo\(i\), así tenemos

\[\sinh (\phi)=\frac{1}{2}\left(e^{\phi}-e^{-\phi}\right), \quad \cosh (\phi)=\frac{1}{2}\left(e^{\phi}+e^{-\phi}\right), \quad \tanh (\phi)=\frac{\sinh (\phi)}{\cosh (\phi)}=\frac{e^{\phi}-e^{-\phi}}{e^{\phi}+e^{-\phi}}\]

Tenga en cuenta que al\(d\sinh\phi/d\phi=\cosh\phi\) igual que la contraparte trigonométrica, pero\(d\cosh\phi/d\phi=\sinh\phi\), por lo que no hay signo menos en este caso.