14.4: La desintegración radiactiva y el marco del centro de impulso
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La desintegración radiactiva es el proceso por el cual las partículas inestables de alta masa; se deshacen en partículas más estables con menor masa. Aunque el proceso en sí es de naturaleza mecánica cuántica, las dinámicas de desintegración radiactiva se describen por relatividad especial y son esencialmente idénticas a las de una colisión inelástica a la inversa. La descomposición puede ocurrir espontáneamente (como un proceso aleatorio), pero también puede ser estimulada, por la absorción de una partícula (típicamente pequeña, por ejemplo, un fotón o un electrón) por la inestable, un proceso utilizado en reactores nucleares. Debido a que la partícula absorbida también transporta energía, en la descomposición estimulada las masas de las partículas resultantes pueden sumar algo más que la masa restante de la partícula original. Una cuestión importante en la física nuclear es cuál es la energía umbral de una reacción dada, es decir, la energía mínima que debe tener la partícula entrante para que el proceso sea posible. Esto no es simplemente las diferencias en la masa-energía de las partículas originales y resultantes, ya que en el proceso de colisión también se debe conservar el impulso. Para ilustrar cómo abordar tal problema, volvamos a considerar un ejemplo concreto: la energía umbral para la reacción en la que un protón (\(m_{\mathrm{p}}=938 \mathrm{MeV} / c^{2}\)), inicialmente en reposo, absorbe un fotón, y luego emite un pión neutro (\(m_{\pi} = 135 \mathrm{MeV} / c^{2}\)), ver Figura 14.3.1 a continuación.
Determinar cuál es la energía mínima requerida en el marco del laboratorio no es fácil, ya que hay que dar cuenta de la energía cinética de las partículas después de la reacción. Sin embargo, existe un sistema en el que los productos de reacción se mantienen quietos: el marco de centro de impulso, el análogo relativista del marco de centro de masa de la mecánica clásica\(^{1}\). El marco de centro de impulso se define como el marco en el que el impulso total de todas las partículas se suma a cero. En nuestro ejemplo específico, antes de la colisión, sólo el fotón lleva un impulso, igual a su energía\(E_{\gamma}\) dividida por la velocidad de la luz. En general, el impulso total en el sistema puede ser de tres vectores, igual a\(\boldsymbol{p}_{\mathrm{T}}=\sum_{i} \boldsymbol{p}_{i}\), mientras que la energía total viene dada por\(E_{\mathrm{T}}=\sum_{i} E_{i}\). Si elegimos nuestras coordenadas de tal manera que la\(x\) -dirección coincida con la de\(\boldsymbol{p}_{\mathrm{T}}\), el energía-impulso de cuatro vectores de todo el sistema se convierte\(\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{T}}=\left(E_{\mathrm{T}} / c, p_{\mathrm{T}}, 0,0\right)\), donde\(p_{\mathrm{T}}=\left|\boldsymbol{p}_{\mathrm{T}}\right|\). Si vamos a cualquier fotograma inercial diferente\(S^{\prime}\) moviéndose con velocidad\(v\) en la\(x\) dirección positiva, los componentes del cuatro vector energía-momento vienen dados por la transformada de Lorentz de\(\boldsymbol{p}_{\mathrm{T}}\):
\[\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{T}}^{\prime}=\gamma(v)\left(\frac{E_{\mathrm{T}}}{c}-\frac{v}{c} p_{\mathrm{T}}, p_{\mathrm{T}}-\frac{v}{c} \frac{E_{\mathrm{T}}}{c}, 0,0\right) \label{14.3.1}\]
así terminamos en un marco en el que el impulso total es cero si elegimos
\[ v_{\mathrm{COM}}=\frac{c^{2} p_{\mathrm{T}}}{E_{\mathrm{T}}} \label{14.3.2}\]
para nuestra velocidad. En particular, vemos que siempre podemos hacer esta transformación, y que el marco del centro de impulso es un marco inercial.
Volver a nuestro ejemplo: ¿por qué nos importa? La respuesta es casi tautológica: si el impulso total es cero antes de la colisión, también es cero después, y así en el marco COM, todas las partículas pueden estar quietas (ver Figura 14.3.1b). Eso ciertamente corresponde a la energía cinética más baja posible del sistema, por lo que la energía del fotón entrante se convierte en masa -y esa debe ser así la energía umbral que estamos buscando. Curiosamente, para responder a nuestra pregunta original, ni siquiera necesitamos calcular cuál es la velocidad real del cuadro COM, solo el hecho de que exista es suficiente. En el marco COM, tenemos, por conservación de cuatro momentos:
\[\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}^{\prime}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{p}, \mathrm{i}}^{\prime} = \overline{\boldsymbol{p}}_{p}, f^{\prime}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\pi}^{\prime} \label{14.3.3}\]
y por lo tanto también
\[ \left(\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}^{\prime}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{p}, \mathrm{i}}^{\prime}\right)^{2}=\left(\overline{\boldsymbol{p}}_{p}, f^{\prime}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\pi}^{\prime}\right)^{2}=\left(m_{\mathrm{p}} c+m_{\pi} c\right)^{2} \label{14.3.4}\]
donde la última igualdad se deriva del hecho de que los reactivos están quietos. Ahora el lado izquierdo
de la ecuación (/ref {14.3.4}) es la longitud de un cuatro vectores, y hemos demostrado que estas longitudes son invariantes bajo las transformaciones de
Lorentz, por lo que su valor es igual al de\(\left(\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{p}, \mathfrak{i}}\right)^{2}\) en el cuadro de laboratorio. En ese marco, tenemos\(\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}=\left(E_{\gamma} / c\right)(1,1,0,0)\) y\(\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{p}, \mathrm{i}}=\left(m_{\mathrm{p}} c, 0,0,0\right)\), así terminamos con una forma de ecuación fácil\(E_{\gamma}\):
\[\left(m_{\mathrm{p}}+m_{\pi}\right)^{2} c^{2}=\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}^{2}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{p}, \mathrm{i}}^{2}+2 \overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}^{2} \cdot \overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{p}, \mathrm{i}}=0+m_{\mathrm{p}}^{2} c^{2}+2 E_{\gamma} m_{\mathrm{p}} \label{14.3.5}\]
o
\[ E_{\gamma}=\frac{m_{\pi}^{2}+2 m_{\pi} m_{\mathrm{p}}}{2 m_{\mathrm{p}}} c^{2}=145 \mathrm{MeV} \label{14.3.6}\]
En este ejemplo, necesitamos por lo menos 10MeV de energía más que la masa de la partícula que hemos creado.
Tenga en cuenta que al encontrar la energía umbral en el ejemplo, nuevamente confiamos en gran medida en las propiedades de cuatro vectores de\(\overline{\boldsymbol{p}}\), no solo su longitud (como en el tercer método de la sección 14.2), sino también en la invarianza de esa longitud bajo las transformaciones de Lorentz. El uso de estas propiedades da como resultado ecuaciones fáciles de resolver, mientras que si las ignoras, probablemente te quedarías atascado tratando de averiguar cuál es la energía cinética de los productos de reacción.
\(^{1}\)Como nuestro sistema incluye un fotón, un marco de centro de masa no tiene sentido aquí, ya que el fotón no tiene masa, pero tiene un impulso distinto de cero, por lo que podemos hacer una transformación a un sistema en el que el impulso total se desvanezca.