3.4: Producto vectorial (producto cruzado)

Dejar\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) ser dos vectores. Debido a que dos vectores no paralelos forman un plano, denotamos el ángulo θ para ser el ángulo entre los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) como se muestra en la Figura 3.27. La magnitud del vector producto\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) de los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) se define como producto de la magnitud de los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) con el seno del ángulo θ entre los dos vectores,

\[|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{B}}| \sin (\theta) \nonumber \]

El ángulo θ entre los vectores se limita a los valores\(0 ≤ θ ≤ \pi\) asegurando que sin (θ) ≥ 0.

Figura 3.27: Geometría vectorial del producto. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

La dirección del producto vectorial se define de la siguiente manera. Los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) forman un plano. Considera la dirección perpendicular a este plano. Hay dos posibilidades: elegiremos una de estas dos (la que se muestra en la Figura 3.27) para la dirección del producto vectorial\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) utilizando una convención que comúnmente se llama la “regla de la derecha”.

Regla de la mano derecha para la dirección del producto vectorial

El primer paso es volver a dibujar los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) para que las colas se estén tocando. Después dibuja un arco partiendo del vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y terminando sobre el vector\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\). Enroscar los dedos derechos de la misma manera que el arco. Su pulgar derecho apunta en la dirección del producto vectorial\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) (Figura 3.28).

Figura 3.28: Regla de la mano derecha. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Debe recordar que la dirección del producto vectorial\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) es perpendicular al plano formado por\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\). Podemos dar una interpretación geométrica a la magnitud del producto vectorial escribiendo la magnitud como\[|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}|(|\overrightarrow{\mathbf{B}}| \sin (\theta)). \nonumber \] El término\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}| \sin \theta\) es la proyección del vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) en la dirección perpendicular al vector\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) como se muestra en la Figura 3.29 (b). El producto vectorial de dos vectores que son paralelos (o antiparalelos) entre sí es cero porque el ángulo entre los vectores es 0 (o\(\pi\)) y sin (0) = 0 (o sin (\(\pi\)) = 0). Geométricamente, dos vectores paralelos no tienen un componente único perpendicular a su dirección común

Figura 3.29: Proyección de (a)\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) perpendicular a\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\), (b) de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) perpendicular a\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Propiedades del Producto Vector

1. El producto vectorial es anticonmutativo porque cambiar el orden de los vectores cambia la dirección del producto vectorial por la regla de la derecha:\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=-\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \]
2. El producto vectorial entre un vector\(c\)\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) donde\(c\) es un escalar y un vector\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) es\[c \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=c(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}) \nonumber \] De manera similar,\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times c \overrightarrow{\mathbf{B}}=c(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}). \nonumber \]
3. El producto vectorial entre la suma de dos vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) con un vector\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) es\[(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}) \times \overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}+\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}} \nonumber \] De manera similar,\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times(\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}})=\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}. \nonumber \]

Descomposición vectorial y el producto vectorial: Coordenadas Cartesianas

Primero calculamos que la magnitud del producto vectorial de los vectores unitarios\(\overrightarrow{\mathbf{i}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{j}}\):

\[|\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}|=|\hat{\mathbf{i}} \| \hat{\mathbf{j}}| \sin (\pi / 2)=1 \nonumber \]

porque los vectores unitarios tienen magnitud\(|\hat{\mathbf{i}}|=|\hat{\mathbf{j}}|=1\) y\(\sin (\pi / 2)=1.\) Por la regla de la derecha, la dirección de

\[\overrightarrow{\mathbf{i}} \times \overrightarrow{\mathbf{j}} \nonumber \]

está en el\(+\hat{\mathbf{k}}\) como se muestra en la Figura 3.30. Por lo tanto\(\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}\)

Figura 3.30: Producto vectorial de\(\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Observamos que la misma regla se aplica para los vectores unitarios en las\(z\) direcciones\(y\) y,\[\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}, \quad \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \nonumber \] Por la propiedad anticonmutativamente (1) del producto vectorial,\[\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}}=-\hat{\mathbf{k}}, \quad \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{j}} \nonumber \] El producto vectorial del vector unitario\(\hat{\mathbf{i}}\) consigo mismo es cero porque los dos vectores unitarios son paralelos entre sí , (sin (0) = 0),\[|\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}|=|\hat{\mathbf{i}} \| \hat{\mathbf{i}}| \sin (0)=0. \nonumber \] El producto vectorial del vector unitario\(\hat{\mathbf{j}}\) consigo mismo y el vector unitario\(\hat{\mathbf{k}}\) consigo mismo también son cero por la misma razón,\[|\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{j}}|=0, \quad|\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}|=0. \nonumber \]

Con estas propiedades en mente, ahora podemos desarrollar una expresión algebraica para el producto vector en términos de componentes. Vamos a elegir un sistema de coordenadas cartesianas con el vector\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) apuntando a lo largo\(x\) del eje positivo con\(x\) -componente positivo\(B_{x}.\) Luego los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y se\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) pueden escribir como

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]\\ overrightarrow {\ mathbf {B}} =B_ {x}\ hat {\ mathbf {i}}\ nonumber\] respectivamente. El producto del vector en los componentes del vector es\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \times B_{x} \hat{\mathbf{i}} \nonumber \]

Esto se convierte,

\ [\ begin {aligned}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}}\ times\ overrightarrow {\ mathbf {B}} &=\ left (A_ {x}\ hat {\ mathbf {i}}\ times B_ {x}\ hat {\ mathbf {i}}\ right) +\ left (A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}\ veces B_ {x}\ sombrero {\ mathbf {i}}\ derecha) +\ izquierda (A_ {z}\ sombrero {\ mathbf {k}}\ veces B_ {x}\ sombrero {\ mathbf {i}}\ derecha)\\
&=A_ {x} B_ {x} (\ hat {\ mathbf {i}}\ times\ hat {\ mathbf {i}}) +A_ {y} B_ {x} (\ hat {\ mathbf {j}}\ times\ hat {\ mathbf {i}}) +A_ {z} B_ {x} (\ hat {\ mathbf {k}}\ tiempos\ hat {\ mathbf {i}})\\\ &=-A_ {y} B_ {x}\ sombrero {\ mathbf {k}} +A_ {z} B_ {x}\ sombrero {\ mathbf {j}}
\ end {alineado}\ nonumber\]

La expresión del componente del vector para el producto vector generaliza fácilmente para vectores arbitrarios

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]\[\overrightarrow{\mathbf{B}}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

para rendir

\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}\right) \hat{\mathbf{j}}+\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\right) \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Descomposición vectorial y el producto vectorial: Coordenadas Cilíndricas

Recordemos el sistema de coordenadas cilíndricas, que mostramos en la Figura 3.31. Hemos elegido dos direcciones, radial y tangencial en el plano, y una dirección perpendicular al plano.

Figura 3.31: Coordenadas cilíndricas. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Los vectores unitarios están en ángulo recto entre sí y, por lo tanto, usando la regla de la derecha, el producto vectorial de los vectores unitarios viene dado por las relaciones

\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}=\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]\[\hat{\boldsymbol{\theta}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{r}} \nonumber \]\[\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{r}}=\hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber \]Porque el producto vectorial satisface también\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=-\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}},\) tenemos que\[\hat{\boldsymbol{\theta}} \times \hat{\mathbf{r}}=-\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]\[\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{\theta}}=-\hat{\mathbf{r}} \nonumber \]\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{\theta}} \nonumber \] Finalmente\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{r}}=\hat{\boldsymbol{\theta}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}=\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]

Ejemplo 3.6: Productos vectoriales

Dados dos vectores,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=2 \hat{\mathbf{i}}+-3 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathbf{k}} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{B}}=5 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}, \text { find } \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} \nonumber \)

Solución

\ [\ begin {align*}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}}\ times\ overrightarrow {\ mathbf {B}} &=\ left (A_ {y} B_ {z} -A_ {z} B_ {y}\ derecha)\ hat {\ mathbf {i}} +\ left (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {j}} +\ izquierda (A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {k}}\ nonumber\\
& =( (-3) (2) - (7) (1)) \ hat {\ mathbf {i}} + ((7) (5) - (2) (2))\ hat {\ mathbf {j}} + ((2) (1) - (-3) (5))\ hat {\ mathbf {k}}\\
&=-13\ hat {\ mathbf {i}} +31\ hat {\ mathbf {j}} +17 {\ mathbf {k}}\ nonumber
\ end {align*}\ nonumber\]

Ejemplo 3.7: Ley de los senos

Para el triángulo mostrado en la Figura 3.32 (a), probar la ley de los vinos,\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}| / \sin \alpha=|\overrightarrow{\mathbf{B}}| / \sin \beta=|\overrightarrow{\mathbf{C}}| / \sin \gamma, \) utilizando el producto vectorial.

Figura 3.32 (a): Ejemplo 3.6. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Figura 3.32 (b): Análisis vectorial. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Solución

Considerar el área de un triángulo formado por tres vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\)\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\),, y\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\), donde\(\overrightarrow{\mathbf{A}} + \overrightarrow{\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{C}} = 0\) (Figura 3.32 (b)). Porque\(\overrightarrow{\mathbf{A}} + \overrightarrow{\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{C}} = 0\), tenemos eso\( 0 = \overrightarrow{\mathbf{A}} \times (\overrightarrow{\mathbf{A}} + \overrightarrow{\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{C}})\). Así\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} = -\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}} \) o\(|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}| = |\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|\).

De la Figura 17.7b, vemos que

\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{B}}|\sin\gamma\)

y

\(|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{C}}| \sin \beta \).

Por lo tanto,

\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{B}}|\sin\gamma=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{C}}| \sin \beta \),

y por lo tanto

\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}| / \sin \beta=|\overrightarrow{\mathbf{C}}| / \sin \gamma\).

Un argumento similar muestra que\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}| / \sin \beta=|\overrightarrow{\mathbf{A}}| / \sin \alpha\) probar la ley de los senos.

Ejemplo 3.8: Unidad Normal

Encuentra un vector unitario perpendicular a\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}=-2 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}.\)

Solución

El producto vectorial\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) es perpendicular a ambos\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}.\) Por lo tanto los vectores unitarios\(\hat{\mathbf{n}}=\pm \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} / | \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) son perpendiculares a ambos\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y primero\(\overrightarrow{\mathbf{B}}.\) calculamos

\ [\ begin {alineado}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}}\ times\ overrightarrow {\ mathbf {B}} &=\ left (A_ {y} B_ {z} -A_ {z} B_ {y}\ derecha)\ hat {\ mathbf {i}} +\ left (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {j}} +\ izquierda (A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {k}}\ nonumber\\
& =( (1) (3) - (-1) (-1) (-1) )\ hat {\ mathbf {i}} + ((-1) (2) - (1) (3))\ hat {\ mathbf {j}} + ((1) (-1) - (1) (2))\ hat {\ mathbf {k}}\\
&=2\ hat {\ mathbf {i}} -5\ hat {\ mathbf {j}} -3\ hat {\ mathbf {k}}\ nonumber
\ end {alineado}\ nonumber\]

Ahora calculamos la magnitud\[|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=\left(2^{2}+5^{2}+3^{2}\right)^{1 / 2}=(38)^{1 / 2}. \nonumber \] Por lo tanto los vectores unitarios perpendiculares son\[\hat{\mathbf{n}}=\pm \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} /|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=\pm(2 \hat{\mathbf{i}}-5 \hat{\mathbf{j}}-3 \hat{\mathbf{k}}) /(38)^{1 / 2} \nonumber \]

Ejemplo 3.9: Volumen de Paralelepípedo

Mostrar que el volumen de un paralelepípedo con bordes formados por los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}},\)\(\overrightarrow{\mathbf{B}},\) y\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) está dado por\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}})\)

Solución

El volumen de un paralelepípedo viene dado por el área de la base de tiempos de altura. Si la base está formada por los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{B}}, {and} \overrightarrow{\mathbf{C}},\) entonces el área de la base viene dada por la magnitud de\(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}.\) El vector\(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}=|\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}| \hat{\mathbf{n}}\) donde\(\hat{\mathbf{n}}\) es un vector unitario perpendicular a la base (Figura 3.33).

Figura 3.33 Ejemplo 3.9. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

La proyección del vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) a lo largo de la dirección\(\hat{\mathbf{n}}\) da la altura del paralelepípedo. Esta proyección se da tomando el producto punto de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) con un vector unitario y es igual a\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\text {height}.\) Por lo tanto\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}})=\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot(|\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|) \hat{\mathbf{n}}=(|\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|) \overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=(\text {area})(\text {height})=(\text {volume}) \nonumber \]

Ejemplo 3.10: Descomposición vectorial

Dejar\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) ser un vector arbitrario y dejar\(\overrightarrow{\mathbf{n}}\) ser un vector unitario en alguna dirección fija. \(\overrightarrow{\mathbf{A}}=(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \hat{\mathbf{n}}+(\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \times \hat{\mathbf{n}}\)Demuéstralo.

Solución

Let\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{\|} \hat{\mathbf{n}}+A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}\) donde\(A_{\|}\) está el componente\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) en la dirección de\(\hat{\mathbf{n}}\),\(\hat{\mathbf{e}}\) es la dirección de proyección de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) en un plano perpendicular a\(\hat{\mathbf{n}}\), y\(A_{\perp}\) es el componente de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) en la dirección de\(\hat{\mathbf{e}}\). Porque\(\hat{\mathbf{e}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=0\) tenemos eso\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=A_{\|}\). Tenga en cuenta que

\(\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}=\hat{\mathbf{n}} \times\left(A \hat{\mathbf{n}}+A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}\right)=\hat{\mathbf{n}} \times A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}=A_{\perp}(\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{e}})\)

El vector unitario\(\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{e}}\) se encuentra en el plano perpendicular a\(\hat{\mathbf{n}} \) y también es perpendicular al\(\hat{\mathbf{e}} \). Por lo tanto, también\((\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{e}}) \times \hat{\mathbf{n}}\) es un vector unitario que es paralelo a\(\hat{\mathbf{e}} \) (por la regla de la mano derecha. Entonces\((\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \times \hat{\mathbf{n}}=A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}\). Por lo tanto

\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{\|} \hat{\mathbf{n}}+A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}=(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \hat{\mathbf{n}}+(\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \times \hat{\mathbf{n}}\)