3.3: Vectores

El uso de vectores en física

De la última sección tenemos tres ideas importantes sobre vectores:

1. los vectores pueden existir en cualquier punto\(P\) del espacio,
2. los vectores tienen dirección y magnitud, y
3. dos vectores cualesquiera que tengan la misma dirección y magnitud son iguales sin importar en qué parte del espacio se encuentren.

Cuando aplicamos vectores a cantidades físicas es agradable mantener en el fondo de nuestras mentes todas estas propiedades formales. Sin embargo, desde el punto de vista del físico, nos interesa representar cantidades físicas como desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, impulso e impulso como vectores. No podemos sumar fuerza a la velocidad ni restar impulso de la fuerza. Siempre debemos entender el contexto físico para la cantidad vectorial. Así, en lugar de aproximarnos a los vectores como objetos matemáticos formales consideraremos las siguientes propiedades esenciales que nos permiten representar cantidades físicas como vectores.

Vectores en Coordenadas Cartesianas

Descomposición vectorial

Elija un sistema de coordenadas con un origen, ejes y vectores de unidad. Podemos descomponer un vector en vectores componentes a lo largo de cada eje de coordenadas (Figura 3.14).

Figura 3.14 Vectores componentes en coordenadas cartesianas. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Un vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) en P se puede descomponer en la suma del vector,

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}+\overrightarrow{\mathbf{A}}_{y}+\overrightarrow{\mathbf{A}}_{z} \nonumber \]

donde\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}\) está el vector\(x\) -componente apuntando en la\(x\) dirección positiva o negativa,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{y}\) es el vector\(y\) -componente apuntando en la\(y\) dirección positiva o negativa, y\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{z}\) es el vector\(z\) -componente apuntando en el positivo o negativo \(z\)-dirección.

Componentes vectoriales

Una vez que hemos definido los vectores unitarios\(\left(\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}\right)\), definimos los componentes de un vector. Recordemos nuestro vector de descomposición,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}+\overrightarrow{\mathbf{A}}_{y}+\overrightarrow{\mathbf{A}}_{z}.\) definimos el vector\(x\) -componente,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x},\) ya que\[\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}=A_{x} \, \hat{\mathbf{i}}. \nonumber \] en esta expresión el término\(A_{x}\) (sin la flecha de arriba) se llama el\(x\) -componente del vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}.\) El\(x\) -componente\(A_{x}\) puede ser positivo, cero, o negativo. No es la magnitud de la\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}\) que viene dada por\(\left(A_{x}^{2}\right)^{1 / 2}\). El\(x\) -componente\(A_{x}\) es una cantidad escalar y el vector de componente x,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}\) es un vector. De manera similar definimos el\(y\) -componente,\(A_{y}\), y el\(z\) -componente,\(A_{z}\), del vector de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) acuerdo con

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}_{y}=A_{y} \, \hat{\mathbf{j}}, \quad \overrightarrow{\mathbf{A}}_{z}=A_{z} \, \hat{\mathbf{k}}. \nonumber \]

Un vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) está representado por sus tres componentes\((A_{x},A_{y},A_{z})\). Por lo tanto, necesitamos tres números para describir un vector en el espacio tridimensional. Escribimos el vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) como

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \, \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \, \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \, \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Magnitud

Usando el teorema de Pitágoras, la magnitud de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) es,\[A=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}} \nonumber \]

Dirección

Consideremos un vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=\left(A_{x}, A_{y}, 0\right)\). Debido a que el\(z\) componente -es cero, el vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) se encuentra en el\(x-y\) plano. Dejar\(θ\) denotar el ángulo que el vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) hace en sentido contrario a las agujas del reloj con el\(x\) eje positivo (Figura 3.15).

Figura 3.15 Componentes de un vector en el plano xy. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Entonces el\(x\) -component y\(y\) -component son\[A_{\mathrm{r}}=A \cos (\theta), \quad A_{y}=A \sin (\theta) \nonumber \] Ahora escribimos un vector en el\(xy\) -plano como

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A \cos (\theta) \hat{\mathbf{i}}+A \sin (\theta) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Una vez que se conocen los componentes de un vector, la tangente del ángulo se\(θ\) puede determinar mediante

\[\frac{A_{y}}{A_{x}}=\frac{A \sin (\theta)}{A \cos (\theta)}=\tan (\theta) \nonumber \]y por lo tanto el ángulo\(θ\) viene dado por\[\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{A_{y}}{A_{x}}\right) \nonumber \]

Claramente, la dirección del vector depende del signo de\(A_{x}\) y\(A_{y}\). Por ejemplo, si ambos\(A_{x} > 0\) y\(A_{y} > 0\), entonces\(0 < θ < \pi / 2\). Si\(A_{x} < 0\) y\(A_{y} > 0\) entonces\(\pi / 2 < θ < \pi\). Si\(A_{x} <0\) y\(A_{y} <0 \) entonces\( \pi<\theta<3 \pi / 2\). Si\(A_{x} >0\) y\ (A
{y} <0\), entonces\(3 \pi/2< \theta<2 \). Tenga en cuenta que\(\theta\) el bronceado es una función de doble valor porque

\[\frac{-A_{y}}{-A_{x}}=\frac{A_{y}}{A_{x}}, \text { and } \frac{A_{y}}{-A_{x}}=\frac{-A_{y}}{A_{x}} \nonumber \]

Vectores unitarios

Unidad de vector en la dirección de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\): Let\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{\mathrm{v}} \hat{\mathbf{j}}+A_{7} \hat{\mathbf{k}}\). Let\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) denotar un vector unitario en la dirección de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Entonces,\[\hat{\mathbf{A}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{A}}}{|\overrightarrow{\mathbf{A}}|}=\frac{A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}}{\left(A_x^{2}+A_y^{2}+A_z^{2}\right)^{1 / 2}} \nonumber \]

Adición de vectores

Dejar\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) ser dos vectores en el\(x-y\) plano. Dejar\( \theta_{A}\) y\(\theta_{B}\) denotar los ángulos que\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) hacen los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y (en sentido contrario a las agujas del reloj) con el\(x\) eje positivo. Entonces\ [
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ cos\ left (\ theta_ {A}\ right)\ hat {\ mathbf {i}} +A\ sin\ left (\ theta_ {A}\ right)\ hat {\ mathbf {j}}\ nonumber\]\[\overrightarrow{\mathbf{B}}=B \cos \left(\theta_{B}\right) \hat{\mathbf{i}}+B \sin \left(\theta_{B}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \] En la Figura 3.16,\(\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\) se muestra la suma vectorial. Dejar\(\theta_{C}\) denotar el ángulo que el vector\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) hace con el\(x\) eje positivo.

Figura 3.16 Adición de vectores usando componentes. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

De la Figura 3.16, los componentes de\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) son\[C_{x}=A_{x}+B_{x}, \quad C_{y}=A_{y}+B_{y} \nonumber \] En términos de magnitudes y ángulos, tenemos

\ [\ begin {array} {l}
C_ {x} =C\ cos\ izquierda (\ theta_ {C}\ derecha) =A\ cos\ izquierda (\ theta_ {A}\ derecha) +B\ cos\ izquierda (\ theta_ {B}\ derecha)\
C_ {y} =C\ sin\ izquierda (\ theta_ {C}\ derecha) =A\ sin\ izquierda (\ theta_ {A}\ derecha) +B\ sin\ izquierda (\ theta_ {B}\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\] Podemos escribir el vector \(\overrightarrow{\mathbf{C}}\)como\[\overrightarrow{\mathbf{C}}=\left(A_{x}+B_{x}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(A_{y}+B_{y}\right) \hat{\mathbf{j}}=C \cos \left(\theta_{C}\right) \hat{\mathbf{i}}+C \sin \left(\theta_{C}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Ejemplo 3.1: Adición de Vector

Dados dos vectores,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=2 \hat{\mathbf{i}}+-3 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathbf{k}} \, \text {and} \, \overrightarrow{\mathbf{B}}=5 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}\), encontrar: (a); (b)\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}|\); (c)\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|\); (d)\(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\); (e) un vector unitario apuntando en la dirección de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}-\overrightarrow{\mathbf{B}}\); (f) un vector unitario\(\hat{\mathbf{A}}\) apuntando en la dirección de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\); (f) un vector unitario\(\hat{\mathbf{B}}\) apuntando en la dirección de\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\);

Solución

(a)

\( |\overrightarrow{\mathbf{A}}|=\left(2^{2}+(-3)^{2}+7^{2}\right)^{1/2}=\sqrt{62}=7.87\).

b)

\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=\left(5^{2}+1^{2}+2^{2}\right)^{1 / 2}=\sqrt{30}=5.48\).

c)

\ (\ begin {aligned}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} +\ overrightarrow {\ mathbf {B}} &=\ left (A_ {x} +B_ {x}\ derecha)\ hat {\ mathbf {i}} +\ left (A_ {y} +B_ {y}\ right)\ hat {\ mathbf {j}} + izquierda\ (A_ {z} +B_ {z}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {k}}\\
& =( 2+5)\ sombrero {\ mathbf {i}} + (-3+1)\ sombrero {\ mathbf {j}} + (7+2)\ sombrero {\ mathbf {k}} \\
&=7\ hat {\ mathbf {i}} -2\ hat {\ mathbf {j}} +9\ hat {\ mathbf {k}}
\ end {alineado}\ nonumber\)

d)

\ (\ begin {aligned}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} -\ overrightarrow {\ mathbf {B}} &=\ left (A_ {x} -B_ {x}\ derecha)\ hat {\ mathbf {i}} +\ left (A_ {y} -B_ {y}\ right)\ hat {\ mathbf {j}} + izquierda\ (A_ {z} -B_ {z}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {k}}\\
& =( 2-5)\ sombrero {\ mathbf {i}} + (-3-1)\ sombrero {\ mathbf {j}} + (7-2)\ sombrero {\ mathbf {k}} \\
&=-3\ hat {\ mathbf {i}} -4\ hat {\ mathbf {j}} +5\ hat {\ mathbf {k}}
\ end {alineado}\)

e)

Un vector unitario\(\hat{\mathbf{A}}\) en la dirección de se\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) puede encontrar dividiendo el vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) por la magnitud de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Por lo tanto\[\hat{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{A}} /|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=(2 \hat{\mathbf{i}}+-3 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathbf{k}}) / \sqrt{62} \nonumber \]

f)

De manera similar,\(\hat{\mathbf{B}}=\overrightarrow{\mathbf{B}} /|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=(5 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}) / \sqrt{30}\)

Ejemplo 3.2 Velero hundido

Un barco de la Guardia Costera se encuentra a 35 km de un puesto de control en dirección\(52^{\circ}\) norte de poniente. Un velero angustiado ubicado en aguas sin gas a 24 km del mismo puesto de control en dirección\(18^{\circ}\) sur de este está a punto de hundirse. Dibuja un diagrama que indique la posición de ambas naves. ¿En qué dirección y hasta dónde debe viajar el barco de la Guardia Costera para llegar al velero?

Solución

El diagrama de la configuración es la Figura 3.17.

Figura 3.17 Ejemplo 3.2. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Figura 3.18 Sistema de coordenadas para velero y barco. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Elija el punto de control como origen de un sistema de coordenadas cartesianas con el eje x positivo en dirección Este y el eje positivo y —en dirección Norte. Elija los vectores unitarios correspondientes\(\hat{\mathbf{i}}\) y\(\hat{\mathbf{j}}\) como se muestra en la Figura 3.18. El barco de la Guardia Costera se encuentra entonces a una distancia\(r = 35\) km en ángulo\(\theta_{1}=180^{\circ}-52^{\circ}=128^{\circ}\) del eje x positivo, La posición del barco de la Guardia Costera es entonces

\ [\ begin {alineado}
&\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {1} =r_ {1}\ left (\ cos\ theta_ {1}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {1}\ hat {\ mathbf {j}}\ derecha)\\
&\ overrightarrow {\ mathbf {r} =-21.5\ mathrm {km}\ hat {\ mathbf {i}} +27.6\ mathrm {km}\ hat {\ mathbf {j}}
\ end {alineado}\ nonumber\] y la posición del velero es\ [\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} =r_ {2}\ left (\ cos\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {j}}\ right)\
\ overtarrightarright fila {\ mathbf {r}} _ {2} =22.8\ mathrm {km}\ sombrero {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm {km}\ sombrero {\ mathbf {j}}
\ end {array}\ nonumber\]

Figura 3.19 Vector de posición relativa de barco a velero. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

El vector de posición relativa del barco de la Guardia Costera al velero es (Figura 3.19)\ [\ begin {aligned}
&\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} -\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {1} =( 22.8\ mathrm {km}\ hat {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm {km}\ hat {\ mathbf {j}}) - (-21.5\ mathrm {km}\ hat {\ mathbf {i}} +27.6\ mathrm {km}\ sombrero {\ mathbf {j}})\\
&\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} -\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {1} =44.4\ mathrm {km}\ sombrero {\ mathbf {i}} -35.0\ mathrm {km}\ sombrero {\ mathbf {j}}
\ end {alineado}\ nonumber\] La distancia entre el barco y el velero es\[\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}\right|=\left((44.4 \mathrm{km})^{2}+(-35.0 \mathrm{km})^{2}\right)^{1 / 2}=56.5 \mathrm{km} \nonumber \] El rumbo del barco de rescate sería el tangente inversa de la relación de los componentes y - y x - del vector de posición relativa,\[\theta_{21}=\tan ^{-1}(-35.0 \mathrm{km} / 44.4 \mathrm{km})=-38.3^{\circ} \nonumber \] o\(38.3^{\circ}\) Sur de Este.

Ejemplo 3.3: Adición de Vector

Dos vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\), tal que\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=2|\overrightarrow{\mathbf{A}}|\), tienen un resultante\(\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\) de magnitud 26.5. El vector\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) forma un ángulo\(\theta_{c} = 41^{\circ}\) con respecto al vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Encuentra la magnitud de cada vector y el ángulo entre vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\).

Solución: Comenzamos haciendo un boceto de los tres vectores, eligiendo\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) apuntar en la dirección x positiva (Figura 3.20).

Figura 3.20: Sistema de elección de coordenadas para el Ejemplo 3.3. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Denotar la magnitud de\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) by\(C \equiv|\overrightarrow{\mathbf{C}}|=\sqrt{\left(C_{x}\right)^{2}+\left(C_{y}\right)^{2}}=26.5\). Los componentes de\(\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\) son dados por

\[ C_{x}=A_{x}+B_{x}=C \cos \theta_{C}=(26.5) \cos \left(41^{\circ}\right)=20 \nonumber \]

\[ C_{y}=B_{y}=C \sin \theta_{C}=(26.5) \sin \left(41^{\circ}\right)=17.4. \nonumber \]

De la condición que\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=2|\overrightarrow{\mathbf{A}}|\), el cuadrado de sus magnitudes satisface

\[\left(B_{x}\right)^{2}+\left(B_{y}\right)^{2}=4\left(A_{x}\right)^{2}. \nonumber \]

Usando las ecuaciones (3.3.17) y (3.3.18), la ecuación (3.3.19) se convierte en\[\left(C_{x}-A_{x}\right)^{2}+\left(C_{y}\right)^{2}=4\left(A_{x}\right)^{2} \nonumber \]

\[ \left(C_{x}\right)^{2}-2C_{x}A_{x}+\left(A_{x}\right)^{2}+\left(C_{y}\right)^{2}=4\left(A_{x}\right)^{2} \nonumber \]

Esta es una ecuación cuadrática

\[ 0=3\left(A_{x}\right)^{2}+2 C_{x} A_{x}-C^{2} \nonumber \]

que resolvemos para el componente\(A_{x}\):

\[A_{x}=\frac{-2 C_{x} \pm \sqrt{\left(2 C_{x}\right)^{2}+(4)(3)\left(C^{2}\right)}}{6}=\frac{-2(20) \pm \sqrt{(40))^{2}+(4)(3)(26.5)^{2}}}{6}=10.0 \nonumber \]

donde elegimos la raíz cuadrada positiva porque elegimos originalmente\(A_{x} > 0\). Los componentes de\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) son dados por las ecuaciones (3.3.17) y (3.3.18):

\[B_{x}=C_{x}-A_{x}=20.0-10.0=10.0 \nonumber \]\[B_{.}=17.4 \nonumber \]

La magnitud de la\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=\sqrt{\left(B_{x}\right)^{2}+\left(B_{y}\right)^{2}}=20.0\) cual es igual a dos veces la magnitud de\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=10.0\). El ángulo entre\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) está dado por

\[\theta=\sin ^{-1}\left(B_{y} /|\overrightarrow{\mathbf{B}}|\right)=\sin ^{-1}(17.4 / 20.0 \mathrm{N})=60^{\circ} \nonumber \]

Ejemplo 3.4 Descripción vectorial de un punto en una línea

Considera dos puntos,\(P_{1}\) con coordenadas\((x_{1}, y_{1})\) y\(P_{2}\) con coordenadas\((x_{1}, y_{1})\) están separados por distancia\(d\). Encuentra un vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) desde el origen hasta el punto en la línea que conecta \(P_{1}\)y\(P_{2}\) que se ubica a una\(a\) distancia del punto\(P_{2}\) (Figura 3.21).

Figura\(\PageIndex{21}\): Ejemplo 3.4. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Solución

Dejar\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=x_{1} \hat{\mathbf{i}}+y_{1} \hat{\mathbf{j}}\) ser el vector de posición de\(P_{1}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}=x_{2} \hat{\mathbf{i}}+y_{2} \hat{\mathbf{j}}\) el vector de posición de\(P_{2}\). Dejar\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\) ser el vector de\(P_{2}\) a\(P_{1}\) (Figura 3.22a). El vector unitario que apunta desde\(P_{2}\) a\(P_{1}\) viene dado por

\(\hat{\mathbf{r}}_{21}=\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) /\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right|=\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) / d\), donde\(d=\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}\)

Figura 3.22a: Vector de posición relativa

Figura 3.22b: Vector de posición relativa

El vector\(\overrightarrow{\mathbf{s}}\) en la Figura 3.22b se conecta\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) al punto en\(\overrightarrow{\mathbf{r_{1}}}\), puntos en la dirección de\(\overrightarrow{\mathbf{r_{12}}}\) y tiene longitud\(a\). Por lo tanto\(\overrightarrow{\mathbf{s}}=a \hat{\mathbf{r}}_{21}=a\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) / d\). El vector\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{s}}\). Por lo tanto\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{s}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-a\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) / d=(1-a / d) \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}+(a / d) \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \nonumber \]\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=(1-a / d)\left(x_{1} \hat{\mathbf{i}}+y_{1} \hat{\mathbf{j}}\right)+(a / d)\left(x_{2} \hat{\mathbf{i}}+y_{2} \hat{\mathbf{j}}\right) \nonumber \]\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=\left(x_{1}+\frac{a\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(y_{1}+\frac{a\left(y_{2}-y_{1}\right)}{\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Transformación de vectores en sistemas de coordenadas giradas

Considere dos sistemas de coordenadas cartesianas\(S\) y\(S'\) tal que los ejes de\((x', y')\) coordenadas en\(S'\) se roten un ángulo\( \theta \) con respecto a los ejes de\((x, y)\) coordenadas en\(S\), (Figura 3.23).

Figura 3.23: Sistemas de coordenadas giradas. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Los componentes del vector unitario\(\hat{\mathbf{i^{\prime}}}\) en la\(\hat{\mathbf{j}}\) dirección\(\hat{\mathbf{i}}\) y vienen dados por

\[i_{x}^{\prime}=\left|\hat{\mathbf{i}}^{\prime}\right| \cos \theta=\cos \theta \nonumber \]

y

\[i_{y}^{\prime}=\left|\hat{\mathbf{i}}^{\prime}\right| \sin \theta=\sin \theta. \nonumber \]

Por lo tanto

\[\hat{\mathbf{i}}^{\prime}=i_{x}^{\prime} \hat{\mathbf{i}}+i_{y}^{\prime} \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}} \cos \theta+\hat{\mathbf{j}} \sin \theta \nonumber \]

Un argumento similar se mantiene para los componentes del vector unitario\(\hat{\mathbf{j^{'}}}\). Los componentes de\(\hat{\mathbf{j^{'}}}\) en la\(\hat{\mathbf{j}}\) dirección\(\hat{\mathbf{i}}\) y están dados por

\[j_{x}^{\prime}=-\left|\hat{\mathbf{j}}^{\prime}\right| \sin \theta=-\sin \theta \nonumber \]

y

\[j_{y}^{\prime}=\left|\hat{\mathbf{j}}^{\prime}\right| \cos \theta=\cos \theta. \nonumber \]

Por lo tanto

\[\hat{\mathbf{j}^{\prime}}=j_{x}^{\prime} \hat{\mathbf{i}}+j_{y}^{\prime} \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cos \theta-\hat{\mathbf{i}} \sin \theta \nonumber \]

Por el contrario, de la Figura 3.23 y argumentos similares de descomposición vectorial, los componentes de (\ hat {\ mathbf {i}}\) y (\ hat {\ mathbf {j}}\) in\(S'\) están dados por

\[\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{i}}^{\prime} \cos \theta-\hat{\mathbf{j}}^{\prime} \sin \theta \nonumber \]\[\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}^{\prime} \sin \theta+\hat{\mathbf{j}}^{\prime} \cos \theta \nonumber \]

Considera un vector fijo\(\overrightarrow{\mathbf{r}}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}\) con componentes\((x, y)\) en el sistema de coordenadas\(S\). En el sistema de coordenadas\(S'\), el vector viene dado por\(\overrightarrow{\mathbf{r}}=x^{\prime} \hat{\mathbf{i}}^{\prime}+y^{\hat{\prime}} \hat{\mathbf{j}}^{\prime}, \text { where }\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\), donde\((x',y')\) están los componentes en\(S'\), (Figura 3.24).

Figura 3.24: Transformación de componentes del vector. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Usando las Ecuaciones (3.3.20) y (3.3.21), tenemos que

\ [\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} =x\ hat {\ mathbf {i}} +y\ hat {\ mathbf {j}} =x\ left (\ hat {\ mathbf {i}} ^ {\ prime}\ cos\ theta-\ hat {\ mathbf {j}} ^ {\ prime}\ sin\ theta\ derecha) +y\ izquierda (\ hat {\ mathbf {j}} ^ {\ prime}\ cos\ theta+\ hat {\ mathbf {i}} ^ {\ prime}\ sin\ theta\ derecha)\\
\ overrightarrow { \ mathbf {r}} = (x\ cos\ theta+y\ sin\ theta)\ sombrero {\ mathbf {i}} ^ {\ prime} + (x\ sin\ theta-y\ cos\ theta)\ sombrero {\ mathbf {j}} ^ {\ prime}\ end {array}\ nonumber\]

Por lo tanto, los componentes del vector se transforman de acuerdo con

\[ x^{\prime}=x \cos \theta+y \sin \theta \nonumber \]

\[y^{\prime}=x \sin \theta-y \cos \theta \nonumber \]

Ahora consideramos un enfoque alternativo para comprender las leyes de transformación para los componentes del vector de posición de un punto fijo en el espacio. En el sistema de coordenadas\(S\), supongamos que el vector de posición\(\overrightarrow{\mathbf{r}}\) tiene longitud\(r=|\overrightarrow{\mathbf{r}}|\) y forma un ángulo\( \phi\) con respecto al\(x\) eje positivo (Figura 3.25).

Figura 3.25: Transformación de componentes vectoriales del vector de posición. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Entonces los componentes de\(\overrightarrow{\mathbf{r}}\) in\(S\) son dados por\[x=r \cos \phi \nonumber \]\[y=r \sin \phi \nonumber \]. En el sistema de coordenadas\(S'\), los componentes de\(\overrightarrow{\mathbf{r}}\) están dados por

\[x^{\prime}=r \cos (\phi-\theta) \nonumber \]\[y^{\prime}=r \sin (\phi-\theta) \nonumber \]

Aplicar la adición de identidades trigonométricas de ángulo a las ecuaciones (3.3.29) y (3.3.30) rendimiento

\[ x^{\prime}=r \cos (\phi-\theta)=r \cos \phi \cos \theta+r \sin \phi \sin \theta=x \cos \theta+y \sin \theta \nonumber \]

\[y^{\prime}=r \sin (\phi-\theta)=r \sin \phi \cos \theta-r \cos \phi \sin \theta=y \cos \theta-x \sin \theta \nonumber \]

de acuerdo con las Ecuaciones (3.3.25) y (3.3.26).

Ejemplo 3.5 Descomposición vectorial en sistemas de coordenadas giradas

Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas dado\(S\), un vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) tiene componentes\(A_{x} = 5\),\(A_{y} = -3\),\(A_{z} = 0\). Considera un segundo sistema de coordenadas\(S'\) tal que los ejes de\((x',y'\) coordenadas en\(S'\) se roten un ángulo\( \theta = 60^{\circ} \) con respecto a los ejes de\((x, y)\) coordenadas en\(S\), (Figura 3.26).

1. ¿Cuáles son los componentes\(A_{x}\) y \(A_{y}\)del vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) en el sistema de coordenadas\(S'\)?
2. Calcular la magnitud del vector usando los \(A_{y})\)componentes\((A_{x}\), y usando los \(A_{y})\)componentes\((A_{x}\),. ¿Tu resultado concuerda con lo que esperas?

Figura 3.26 Ejemplo 3.4. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Solución:

Comenzamos considerando la descomposición vectorial de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) respecto al sistema de coordenadas\(S\),\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}} \nonumber \] Ahora podemos utilizar nuestros resultados para la transformación de vectores unitarios\(\overrightarrow{\mathbf{i}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{j}}\) en términos de\(\overrightarrow{\mathbf{i^{'}}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{j^{'}}}\), (Ecuaciones (3.3.22) y (3.3.23)) en orden descomponer el vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) en el sistema de coordenadas\(S'\)

\ [\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ hat {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}} =A_ {x}\ left (\ cos\ theta\ hat {\ mathbf {i}} ^ {\ prime} -\ sin\ theta\ hat {\ mathbf j {}} ^ {\ prime}\ derecha) +A_ {y}\ izquierda (\ sin\ theta\ sombrero {\ mathbf {i}} ^ {\ prime} +\ cos\ theta\ sombrero {\ mathbf {j}} ^ {\ prime}\ derecha)\\
=\ izquierda (A_ {x}\ cos\ theta+a_ {y}\ sin\ theta\ derecha)\ hat {\ mathbf {i}} ^ {\ prime} +\ left (-A_ {x}\ sin\ theta+a_ {y}\ cos\ theta\ derecha)\ hat {\ mathbf {j}} ^ {\ prime}\\
=A_ {x}\ hat {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}}
\ end {array}\ nonumber\]

donde

\[A_{x^{\prime}}=A_{x} \cos \theta+A_{y} \sin \theta \nonumber \]\[A_{y^{\prime}}=-A_{x} \sin \theta+A_{y} \cos \theta \nonumber \]

Ahora utilizamos la información dada que\(A_{x} = 5\),\(A_{y} = -3\), y para resolver\( \theta = 60^{\circ} \) para los componentes de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) en el sistema de coordenadas\(S'\)

\[A_{x^{\prime}}=A_{x} \cos \theta+A_{y} \sin \theta=(1 / 2)(5-3 \sqrt{3}) \nonumber \]

\[A_{y^{\prime}}=-A_{x} \sin \theta+A_{y} \cos \theta=(1 / 2)(-5 \sqrt{3}-3) \nonumber \]

b) La magnitud se puede calcular en cualquiera de los sistemas de coordenadas

\[|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=\sqrt{\left(A_{x}\right)^{2}+\left(A_{y}\right)^{2}}=\sqrt{(5)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{34} \nonumber \]

\[|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=\sqrt{\left(A_{x^{\prime}}\right)^{2}+\left(A_{y^{\prime}}\right)^{2}}=\sqrt{((1 / 2)(5-3 \sqrt{3}))^{2}+((1 / 2)(-5 \sqrt{3}-3))^{2}}=\sqrt{34} \nonumber \]

Este resultado concuerda con lo que espero porque la longitud del vector es\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) independiente de la elección del sistema de coordenadas.