2.11: Láminas Planas. Momento del Producto. Traducción de Ejes (Teorema de ejes paralelos)
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Consideramos un conjunto de masas puntuales distribuidas en un plano, o una lámina plana. Hasta ahora nos hemos encontrado con tres segundos momentos de inercia:
\[ A = \sum m_{i}y_{i}^{2}, \label{eq:2.11.1} \]
\[ B = \sum m_{i}x_{i}^{2}, \label{eq:2.11.2} \]
\[ C = \sum m_{i}(x_{i}^{2}+ y_{i}^{2}), \label{eq:2.11.3} \]
Estos son respectivamente los momentos de inercia alrededor de los ejes\(x\) - y\(y\) -ejes (que se supone que están en el plano de las masas o la lámina) y el\(z\) eje -eje (normal al plano). Claramente,\( C = A + B \), que es el teorema de ejes perpendiculares para una lámina plana.
Ahora introducimos otra cantidad,\(H\), llamada el momento de inercia del producto con respecto a los\(y\) ejes\(x\) - y -definidos por
\[ H = \sum m_{i}x_{i}y_{i} \label{eq:2.11.4} \]
En algún momento necesitaremos preguntarnos si esto tiene algún significado físico particular, o si es simplemente algo para calcular en aras de pasar la hora del día. Mientras tanto, el lector debe recordar los teoremas de ejes paralelos (Sección 2.5) y, utilizando argumentos similares a los dados en esa sección, debe derivar
\[ H = H_{C}+ M \overline{x} \overline{y} \label{eq:2.11.5} \]
También se puede señalar que la Ecuación\( \ref{eq:2.11.4}\) no contiene ningún término cuadrado y por lo tanto el momento de inercia del producto, dependiendo de la distribución de las masas, es igual de probable que sea una cantidad negativa como positiva.
Aplazaremos la discusión de la significación física, en su caso, del momento del producto hasta la sección\(2.12\). Mientras tanto intentemos calcular el momento del producto para una lámina triangular derecha plana:
El área del triángulo es\( \frac{1}{2} a b\) y así es la masa del elemento\( \delta x \delta x\)\( \frac{2M\delta x \delta y } {ab} \), donde\(M\) está la masa del triángulo completo. El momento producto del elemento con respecto a los lados OA, OB es\( \frac{2M x y \delta x \delta y } {ab} \) y así lo es el momento producto de todo el triángulo\( \frac{2M}{ab} \int \int xydxdy \). Tenemos que considerar cuidadosamente los límites de la integración. Lo integraremos primero con respecto a\( x \); es decir, integramos a lo largo de la tira horizontal (y constante) desde el lado OB hasta el lado AB. Es decir nos integramos\( x \delta x \) de dónde\( x = 0 \) a dónde\( x = a (1- \frac{y}{b}) \). Por lo tanto, el momento del producto es
\[ \dfrac{2M}{ab} \int y \frac{1}{2} a^{2} (1- \frac{y}{b})^{2} dy . \nonumber \]
Ahora tenemos que sumar todas las tiras horizontales desde el lado OA, donde\( y = 0\), a B, donde\(y = b\).
Así
\[ H = \frac{Ma}{b} \int_{0}^{b} y \left(1- \frac{y}{b}\right)^2 dy, \nonumber \]
que, después de un poco de álgebra, llega a\( H = \frac {1}{12} Mab \).
Las coordenadas del centro de masa con respecto a los lados OA, OB son\( \frac{1}{3}a, \frac{1}{3} b \), de manera que, a partir de la Ecuación\( \ref{eq:2.11.5}\), encontramos que el momento producto con respecto a ejes paralelos a OA, OB y que pasan por el centro de masa es\( - \frac{1}{36} Mab \).
Calcular los momentos de producto de las siguientes ocho láminas, cada una de masa\( M\), con respecto a los ejes horizontal y vertical a través del origen, y con respecto a los ejes horizontal y vertical a través del centroide de cada una. (Acabamos de hacer el primero de estos, arriba.) La base horizontal de cada uno es de longitud\( a\), y la altura de cada uno es\(b\). Vas a tener que tener mucho cuidado con los signos, y con los límites de la integración. Si obtienes una respuesta correcta excepto por el letrero, entonces tienes la respuesta equivocada.
Hago las respuestas de la siguiente manera.
