13.9: Principio Variacional de Hamilton

El principio variacional de Hamilton en dinámica recuerda ligeramente al principio del trabajo virtual en la estática, discutido en la Sección 9.4 del Capítulo 9. Al utilizar el principio del trabajo virtual en la estática nos imaginamos partiendo de una posición de equilibrio, y luego aumentando infinitesimalmente una de las coordenadas. Calculamos el trabajo virtual realizado y lo ponemos a cero. Me acuerdo un poco de esto al discutir el principio de Hamilton en dinámica

Imagínese algún sistema mecánico, algún artilugio que incluye en su construcción varias ruedas, varillas articuladas, resortes, cuerdas elásticas, péndulos, planos inclinados, cuencos hemisféricos y escaleras apoyadas contra paredes verticales lisas y pisos horizontales lisos. Puede requerir\(N\) generalized coordinates to describe its configuration at any time. Its configuration could be described by the position of a point in \(N\)-dimensional space. Or perhaps it is subject to \(k\) holonomic constraints – in which case the point that describes its configuration in \(N\)-dimensional space is not free to move anywhere in that space, but is constrained to slither around on a surface of dimension \(N-k\).

El sistema no es estático, sino que está evolucionando. Está cambiando de algún estado inicial en el momento\(t_{1}\) to some final state at time \(t_{2}\). The generalized coordinates that describe it are changing with time – and the point in \(N\)-space is slithering round on its surface of dimension \(N-k\). Uno puede imaginar que en cualquier instante de tiempo se puede calcular su energía cinética\(T\) and its potential energy \(V\), and hence its lagrangian \(L=T-V\). Puedes multiplicar\(L\) at some moment by a small time interval \(\delta t\) y luego sumar todos estos productos entre\(t_{1}\) and \(t_{2}\) to form the integral

\[ \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt. \nonumber \]

Esta cantidad —de dimensión ML ² T ^{- 1} y SI unidad J s— a veces se llama la “acción”. Hay muchas formas diferentes en las que podemos imaginar que el sistema evolucione desde su estado inicial hasta su estado final, y hay muchas rutas diferentes que podemos imaginar podrían ser tomadas por nuestro punto\(N\)-space as its moves from its initial position to its final position, as long as it moves over its surface of dimension \(N-k\). But, although we can imagine many such routes, the manner in which the system will actually evolve, and the route that the point will actually take is determined by Hamilton’s principle; and the route, according to this principle, is such that the integral \(\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt\) is a minimum, or a maximum, or an inflection point, when compared with other imaginable routes. Stated otherwise, let us suppose that we calculate \(\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt\) sobre la ruta real tomada y luego calcular la variación en\(\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt\) si el sistema debía moverse por un camino adyacente ligeramente diferente. Entonces (y aquí está la analogía con el principio del trabajo virtual en un problema de estática) esta variación

\[ \delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt \nonumber \]

de lo\(\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt\) would have been over the actual route is zero. And this is Hamilton’s variational principle.

Las siguientes preguntas seguramente serán: ¿Puedo usar este principio para resolver problemas en mecánica? ¿Puedo probar esta afirmación calva? Permítanme tratar de usar el principio para resolver dos problemas simples y familiares, y luego pasar a un problema más general.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Imagínese que tenemos una partícula que puede moverse en una dimensión (es decir, una coordenada, por ejemplo su altura\(y\) above a table , es suficiente para describir su posición), y que cuando su coordenada es\(y\) its potential energy is

\[ V=mgy. \label{13.9.1} \]

Su energía cinética es, por supuesto,

\[ T=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}. \label{13.9.2} \]

Vamos a usar el principio variacional para encontrar la ecuación del movimiento, es decir, vamos a encontrar una expresión para su aceleración. Imagino que por el momento no tienes idea de cuál podría ser su aceleración —pero no te preocupes, porque sabemos que el lagrangiano es

\[ L=\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-mgy, \label{13.9.3} \]

y haremos un breve trabajo de ello con el principio variacional de Hamilton y pronto encontraremos la aceleración. De acuerdo con este principio,\(y\) must vary with \(t\) in such a manner that

\[ m\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\frac{1}{2}\dot{y}^{2}-gy)dt=0. \label{13.9.4} \]

Vamos a variar\(\dot{y}\) by \(\delta \dot{y}\) and \(y\) by \(\delta y\) see how the integral varies.

La integral es entonces

\[ m\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\dot{y}\delta\dot{y}-g\delta y)dt, \label{13.9.5} \]

a la que voy a llamar\(I_{1}-I_{2}\).

Ahora\(\dot{y}=\frac{dy}{dt}\) and if \(y\) varies by \(\delta y\), the resulting variation in \(\dot{y}\) will be \(\delta\dot{y}=\frac{d}{dt}\delta y\), or \(\delta\dot{y}dt=d\delta y\).

Por lo tanto

\[ I_{1}=m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\dot{y}d\delta y. \label{13.9.6} \]

(Si no está convencido de ello, considere\(\int e^{t}\cos tdt=\int e^{t}\frac{d}{dt}\sin tdt=\int e^{t}d\sin t\).)

Por integración por partes:

\[ I_{1}=[m \dot{y} \delta y]_{t_{1}}^{t_{2}}-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\delta yd\dot{y}. \label{13.9.10} \]

El primer término es cero porque la variación es cero en los puntos inicial y final. En la segunda legislatura,\(d\dot{y}=\ddot{y}dt\) and therefore

\[ I_{1}=-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\ddot{y}\delta ydt \label{13.9.11} \]

\[ \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\ddot{y}+g)\delta ydt, \label{13.9.12} \]

y, para que esto sea cero, debemos tener

\[ \ddot{y}=-g. \label{13.9.13} \]

Esta es la ecuación de movimiento que buscábamos. Nunca lo habrías adivinado, ¿verdad?

Ahora hagamos otro problema unidimensional.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Sólo una coordenada,\(x\), describes the particle’s position, and, when its coordinate is \(x\) we’ll suppose that its potential energy is \(V=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\) and its kinetic energy is, of course, \(T=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\). La ecuación del movimiento, o la forma en que la aceleración varía con la posición, debe ser tal que satisfaga

\[ \frac{1}{2}m\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}(\dot{x}^{2}-\omega^{2}x^{2})dt=0. \label{13.9.14} \]

Si variamos\(\dot{x}\) by \(\delta\dot{x}\) and \(x\) by \(\delta x\) the variation in the integral will be

\[ m\int_{t_{1}}^{t_{2}}(\dot{x}\delta\dot{x}-\omega^{2}x\delta x)dt=I_{1}-I_{2}. \label{13.9.15} \]

Precisamente por el mismo argumento que antes, se encuentra que la primera integral es\(-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\ddot{x}\delta x\,dt\)

Por lo tanto

\[ \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt=-m\int_{t_{1}}^{t_{2}}\ddot{x}\delta x\,dt-m\omega^{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}}x\delta x\,dt, \label{13.9.16} \]

y, para que esto sea cero, debemos tener

\[ \ddot{x}=-\omega^{2}x. \label{13.9.17} \]

Estos dos ejemplos deben haber dado la impresión de que estamos haciendo algo muy difícil para derivar algo que es inmediatamente obvio —pero los ejemplos solo tenían la intención de mostrar la dirección de un argumento más general que estamos a punto de hacer.

Esta vez, consideraremos un sistema muy general, en el que escribimos lo lagrangiano en función de las (varias) coordenadas generalizadas y sus tasas de cambio de tiempo -i.e.\(L=L(q_{i},\dot{q_{i}})\) - without specifying any particular form of the function – and we’ll carry out the same sort of argument to derive a very general equation of motion.

Tenemos

\[ \delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\delta L dt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sum_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\delta q_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\delta \dot{q_{i}}\right)dt=0. \label{13.9.18} \]

Como antes,\(\delta \dot{q_{i}}=\frac{d}{dt}\delta q_{i}\) so that

\[ \int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\delta \dot{q_{i}}dt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} \frac{d}{dt}\delta q_{i}dt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} d\delta q_{i}=\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\delta q_{i}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\delta q_{i}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}dt \label{13.9.19} \]

\[ \delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sum_{i} \left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)\delta q_{i}dt=0. \label{13.9.20} \]

Así llegamos a la ecuación general del movimiento

\[ \frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)=0. \label{13.9.21} \]

Así, hemos derivado la ecuación de movimiento de Lagrange a partir del principio variacional de Hamilton, y esta es de hecho la forma en que a menudo se deriva. Sin embargo, en este capítulo, derivé la ecuación de Lagrange de manera bastante independiente, y por lo tanto consideraría esta derivación no tanto como una prueba de la ecuación de Lagrange, sino como una reivindicación de la corrección del principio variacional de Hamilton.