5.3: Ecuaciones Reducidas

Un tema mucho más importante es la estabilidad de las soluciones descritas por la Ec. (48). En efecto, la Figura 4 muestra que dentro de un cierto rango de parámetros, estas ecuaciones dan tres valores diferentes para la amplitud de oscilación (y fase), y es importante entender cuáles de estas soluciones son estables. Dado que estas soluciones no son los puntos fijos en el sentido discutido en la Sec. \(3.2\)(cada punto de la Figura 4 representa una oscilación casi sinusoidal), su análisis de estabilidad necesita un enfoque más general que sea válido para oscilaciones con amplitud y fase que evolucionan lentamente en el tiempo. Este enfoque permitirá también el análisis de procesos no estacionarios (especialmente los transitorios iniciales), los cuales son de importancia para algunos sistemas dinámicos.

En primer lugar, formalicemos la forma en que se obtienen las ecuaciones de equilibrio armónico, como las ecuaciones (47), para el caso general (38), más que para la ecuación particular (43) considerada en la última sección. Después de enchufar la\(0^{\text {th }}\) aproximación (41) en el lado derecho de la ecuación (38) tenemos que requerir que las amplitudes de ambos componentes de cuadratura de frecuencia\(\omega\) desaparezcan. A partir del análisis estándar de Fourier, sabemos que estos requisitos pueden representarse como\[\overline{f^{(0)} \sin \Psi}=0, \overline{f^{(0)} \cos \Psi}=0,\] donde la barra superior significa el promedio de tiempo -en nuestro caso actual, sobre el periodo\(2 \pi / \omega\) del lado derecho de la Ec. (52), con los argumentos calculados en la\(0^{\text {th }}\) aproximación:\[f^{(0)} \equiv f\left(t, q^{(0)}, \dot{q}^{(0)}, \ldots\right) \equiv f(t, A \cos \Psi,-A \omega \sin \Psi, \ldots), \quad \text { with } \Psi=\omega t-\varphi .\] Ahora, para un proceso transitorio la contribución de\(q^{(0)}\) al lado izquierdo de la Ec. (38) ya no es cero, ya que su amplitud y fase pueden ser ambas funciones lentas del tiempo - ver Ec. (41). Calculemos esta contribución. El resultado exacto sería\[\begin{aligned} \ddot{q}^{(0)}+\omega^{2} q^{(0)} & \equiv\left(\frac{d^{2}}{d t^{2}}+\omega^{2}\right) A \cos (\omega t-\varphi) \\ &=\left(\ddot{A}+2 \dot{\varphi} \omega A-\dot{\varphi}^{2} A\right) \cos (\omega t-\varphi)-2 \dot{A}(\omega-\dot{\varphi}) \sin (\omega t-\varphi) . \end{aligned}\] Sin embargo, en la primera aproximación en\(\varepsilon\), podemos descuidar la segunda derivada de\(A\), y también los cuadrados y productos de las primeras derivadas de\(A\) y\(\varphi\) (que son todos del segundo orden en\(\varepsilon\)), de modo que la Ec. (54) es reducido a\[\ddot{q}^{(0)}+\omega^{2} q^{(0)} \approx 2 A \dot{\varphi} \omega \cos (\omega t-\varphi)-2 \dot{A} \omega \sin (\omega t-\varphi) .\] En el lado derecho de la Ec. (53), podemos descuidar en absoluto las derivadas de tiempo de la amplitud y fase, porque esta parte ya es proporcional al parámetro pequeño. De ahí que en primer orden en\(\varepsilon\), la Eq. (38) se convierte en\[\ddot{q}^{(1)}+\omega^{2} q^{(1)}=f_{\mathrm{ef}}^{(0)} \equiv f^{(0)}-(2 A \dot{\varphi} \omega \cos \Psi-2 \dot{A} \omega \sin \Psi) .\] Ahora, aplicando las ecuaciones (52) a la función\(f_{\mathrm{ef}}^{(0)}\), y tomando en cuenta que los promedios de tiempo de\(\sin ^{2} \Psi\) y\(\cos ^{2} \Psi\) son ambos iguales a\(1 / 2\), mientras que el promedio de tiempo del producto\(\sin \Psi \cos \Psi\) desaparece, obtenemos un par de las denominadas ecuaciones reducidas (alternativamente llamadas ecuaciones “truncadas”, o “RWA” o “van der Pol”) para la evolución temporal de la amplitud y fase:\[\dot{A}=-\frac{1}{\omega} \overline{f^{(0)} \sin \Psi}, \quad \dot{\varphi}=\frac{1}{\omega A} \overline{f^{(0)} \cos \Psi}\] Ampliar la definición (4) de la amplitud compleja de las oscilaciones a su lenta evolución en el tiempo,\(a(t)\)\(\equiv A(t) \exp \{i \varphi(t)\}\), y diferenciando esta relación, las dos ecuaciones (57a) también pueden ser reescritas en forma de una ecuación para\(a\):\[\dot{a}=\frac{i}{\omega} \overline{f^{(0)} e^{i(\Psi+\varphi)}} \equiv \frac{i}{\omega} \overline{f^{(0)} e^{i \omega t}}\] o dos ecuaciones para las partes real e imaginaria de\(a(t)=u(t)+i v(t)\):\[\dot{u}=-\frac{1}{\omega} \overline{f^{(0)} \sin \omega t}, \quad \dot{v}=\frac{1}{\omega} \overline{f^{(0)} \cos \omega t} .\] Las ecuaciones de equilibrio armónico de primer orden\((52)\) son evidentemente solo lo particular caso de las ecuaciones reducidas (57) para oscilaciones estacionarias (\(\dot{A}=\dot{\varphi}=0) .{ }^{21}\)

Superficialmente, el sistema (57a) de dos ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden puede parecer más complejo que la ecuación diferencial inicial de segundo orden (38), pero en realidad, suele ser mucho más simple. Por ejemplo, deletreemos para el caso fácil de oscilaciones libres un oscilador lineal con amortiguación. Para eso, podemos reutilizar la Eq. (46) lista tomando\(\alpha=f_{0}=0\), y así convirtiendo las ecuaciones (57a) en\[\begin{gathered} \dot{A}=-\frac{1}{\omega} \overline{f^{(0)} \sin \Psi} \equiv-\frac{1}{\omega} \overline{(2 \xi \omega A \cos \Psi+2 \delta \omega A \sin \Psi) \sin \Psi} \equiv-\delta A, \\ \dot{\varphi}=\frac{1}{\omega A} \overline{f^{(0)} \cos \Psi} \equiv \frac{1}{\omega A} \overline{(2 \xi \omega A \cos \Psi+2 \delta \omega A \sin \Psi) \cos \Psi} \equiv \xi . \end{gathered}\] La solución de la ecuación (58a) nos da la\(A(t)=A(0) e^{-\delta t}\) misma ley de “envolvente” que la solución exacta (10) de la ecuación diferencial inicial, mientras que la integración elemental de la ecuación (58b) produce\(\varphi(t)=\xi t+\) \(\varphi(0) \equiv \omega t-\omega_{0} t+\varphi(0)\). Esto significa que nuestra solución aproximada,\[q^{(0)}(t)=A(t) \cos [\omega t-\varphi(t)]=A(0) e^{-\delta t} \cos \left[\omega_{0} t-\varphi(0)\right],\] concuerda con la ecuación exacta (9), y solo pierde la corrección (8) de la frecuencia de oscilación. (Esta corrección es de segundo orden en\(\delta\), es decir, del orden de\(\varepsilon^{2}\), y por lo tanto está más allá de la precisión de nuestra primera aproximación.) Es notable lo bien que las ecuaciones reducidas recuperan la frecuencia adecuada de oscilaciones libres en este sistema autónomo -en el que la noción misma de\(\omega\) es ambigua-.

El resultado es diferente en oscilaciones forzadas. Por ejemplo, para el oscilador Duffing (generalmente, no lineal) descrito por la ecuación (43) con\(f_{0} \neq 0\), las ecuaciones (57a) producen las ecuaciones reducidas, las\[\dot{A}=-\delta A+\frac{f_{0}}{2 \omega} \sin \varphi, \quad A \dot{\varphi}=\xi(A) A+\frac{f_{0}}{2 \omega} \cos \varphi,\] cuales son válidas para una función arbitraria\(\xi(A)\), siempre que esta desintonización no lineal permanezca mucho más pequeña que la frecuencia de oscilación. Aquí (después de un transitorio), la amplitud y fase tienden a los estados estacionarios descritos por las ecuaciones (47). Esto significa que\(\varphi\) se convierte en una constante, por lo que esa\(q^{(0)} \rightarrow A \cos (\omega t-\) const), es decir, las ecuaciones reducidas vuelven a recuperar automáticamente la frecuencia correcta de la solución, en este caso igual a la frecuencia de fuerza externa.

Obsérvese que cada régimen de oscilación estacionaria, con cierta amplitud y fase, corresponde a un punto fijo de las ecuaciones reducidas, de manera que la estabilidad de esos puntos fijos determina la de las oscilaciones. En las siguientes tres secciones, realizaremos dicho análisis para varios sistemas simples de importancia clave para la física y la ingeniería.

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\({ }^{21}\)Uno puede preguntarse por qué no podemos ceñirnos a una sola, la forma más compacta, de amplitud compleja (57b) de las ecuaciones reducidas. La razón principal es que cuando la función\(f(q, \dot{q}, t)\) es no lineal, no podemos reemplazar sus argumentos reales, como\(q=A \cos (\omega t-\varphi)\), por sus representaciones de función compleja como\(a \exp \{-i \omega t\}\) (como podría hacerse en los problemas lineales considerados en la Sec. 5.1), y necesitamos usar variables reales, como cualquiera\(\{A, \varphi\}\) o\(\{u, v\}\), de todas formas.